Enunciado

O dispositivo da figura gira a 1200   r p m , acionado por um motor que mantém o torque constante, independentemente da rotação. Para variar a rotação, deloca-se o mancal móvel para a esquerda. Qual a nova rotação atingida, em r p m , deslocando totalmente o mancal? Dado: v = π n D .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A área do cilindro é dada por:

A = π D L i

O torque do motor é dado por:

T = D 2 F

E a tensão de cisalhamento é dada pela seguinte expressão:

τ c i s = F t A = μ δ v δ y

Considerando uma camada muito fina de fluido, a expressão anterior se torna:

τ c i s = μ v 0 e

Passo 2

Sendo assim, as áreas serão:

A d 1 = 0,0785   m 2

A D 1 = 0,1257   m 2

Assim, podemos calcular as tensões de cisalhamento do fluido em cada cilindro:

τ c i s d 1 = 10 - 2 1 10 - 4

τ c i s d 1 = 100   N / m 2

E:

τ c i s D 1 = 10 - 2 4 10 - 3

τ c i s D 1 = 4 0   N / m 2

Passo 3

As forças de cisalhamento tangenciais são dadas por:

F t d 1 = 7,85   N

E:

F t D 1 = 5028   N

O torque total é dado por:

T t o t a l = F t d 1 d 1 2 + F t D 1 D 1 2

T t o t a l = 0,19625 + 0,50280

T t o t a l = 0,7   N ⋅ m

Passo 4

Como temos a velocidade de rotação dada pelo exercício, podemos transformar essa velocidade em velocidades lineares tangenciais a cada cilindro do problema a partir da expressão v = ω D 2 , logo:

v d 1 = 1 m / s

E:

v D 1 = 4   m / s

A força de cisalhamento tangencial ao cilindro do primeiro mancal é dada por:

F t D 1 = T t o t a l 1 D 1

F t D 1 = 7   N

Logo, temos uma nova tensão de cisalhamento na superfície deste cilindro:

τ c i s D 1 = F t D 1 A D 1

τ c i s D 1 = 55,67   N / m 2

Assim podemos obter a velocidade linear do cilindro:

55,67 = μ v 0 ò

v 0 = 5,67 ⋅ 10 - 3 1 10 - 2

v 0 = 5,569   m / s

Resposta

v 0 = 5,569   m / s

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