Enunciado

Dois discos circulares, de raio R, estão separados pela distância b . O disco superior se move em direção ao inferior com uma velocidade constante V . O espaço entre eles está cheio de um líquido sem atrito, não viscoso, que é esguichado para fora quando os discos se encontram. Considere que a velocidade é uniforme em qualquer seção radial através da fresta de largura b . Entretanto, note que b é uma função do tempo. A pressão em torno dos discos é a atmosférica. Determine a pressão manométrica em r = 0 .

Passo 1

Vamos começar o exercício ilustrando o problema descrito no enunciado:

Vamos começar esse exercício aplicando a equação para a quantidade de movimento para o sistema na direção r , então, temos:

F r = F S r + F B r = ∂ ∂ t ∫ V C   ρ d V + ∫ S C   ρ V → . d A →

Então, nesse exercício, não temos nenhuma força de superfície agindo sobre o sistema na direçao r , então F S r = 0 . Também podemos desconsiderar as forças gravitacionais na direção r , então F B r = 0 . Nesse caso, sabemos que podemos escrever o volume do volume de controle como:

V = π r 2 b

E a área como:

A = 2 π r b

Então, a equação da quantidade de movimento se torna:

0 = ∂ ∂ t ρ ∫ V C   d V + ρ v r ∫ S C   d A → ∂ ∂ t ρ π r 2 b + ρ v r 2 π r b = 0

Como o único termo que depende do tempo é b , então:

ρ π r 2 ∂ b ∂ t + 2 ρ v r π r b = 0

No entanto, sabemos que a variação de b com o tempo, nada mais é do que a velocidade de aproximação do disco superior, então:

∂ b ∂ t = - V

Então a equação se torna:

ρ π r 2 - V + 2 ρ v r π r b = 0 → v r = V r 2 b

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli para regime transiente entre um ponto a uma distância r do centro (ponto 1) e a extremidade dos discos em r = R (ponto 2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

Nesse caso, como o ponto 2 está exposto à atmosfera, temos p 2 = p a t m . Podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 . Sabemos também que o trajeto d s será percorrido na direção r , então temos d s = d r . Sabemos também que v 1 = v r e que v 2 = v R . Dessa forma, a equação se torna:

p 1 ρ + v 1 2 2 = p a t m ρ + v 2 2 2 + ∫ r R ∂ v r ∂ t d r

Agora, substituindo a expressão encontrada para v r no passo 1, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 = p a t m ρ + v 2 2 2 + ∫ r R ∂ ∂ t V r 2 b d r

Resolvendo a derivada, lembrando de aplicar a regra da cadeia, pois b depende do tempo, temos:

∂ ∂ t V r 2 b = V r 2 - 1 b 2 . d b d t

Só que como vimos no passo 1:

∂ b ∂ t = - V

Substituindo esse valor na expressão anterior:

∂ ∂ t V r 2 b = V r 2 - 1 b 2 . ( - V ) → ∂ ∂ t V r 2 b = V 2 r 2 b 2

Passo 3

Substituindo o valor encontrado para a derivada na equação de Bernoulli, temos:

p 1 ρ + v r 2 2 = p a t m ρ + v R 2 2 + ∫ r R V 2 r 2 b 2 d r

Substituindo os valores para v r e v R e resolvendo a integral, temos:

p 1 ρ + V r 2 b 2 2 = p a t m ρ + V R 2 b 2 2 + V 2 r 2 4 b 2 r R

Substituindo os limites de integração, temos:

p 1 ρ + V 2 r 2 8 b 2 = p a t m ρ + V 2 R 2 8 b 2 + V 2 R 2 4 b 2 - V 2 r 2 4 b 2

Passo 4

Como o enunciado nos pediu para encontrar a pressão manométrica em r = 0 , vamos substituir esse valor de r na última equação do passo 3 e também fazer p a t m = 0 para obter uma pressão p 1 manométrica, então, temos:

p 1 ρ + V 2 0 2 8 b 2 = 0 ρ + V 2 R 2 8 b 2 + V 2 R 2 4 b 2 - V 2 ( 0 ) 2 4 b 2

p 1 ρ = V 2 R 2 8 b 2 + V 2 R 2 4 b 2 → p 1 = 3 ρ V 2 R 2 8 b 2

Resposta

p 1 = 3 ρ V 2 R 2 8 b 2

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