Enunciado

Se a água no tubo do Problema 6.89 está inicialmente em repouso e a pressão é mantida em 10,3 kPa (manométrica), deduza uma equação diferencil para a velocidade V no tubo como uma função do tempo, integre e trace um gráfico de V em função de t , para t = 0 a t = 5   s .

Passo 1

Tá legal, vamos começar o exercício aplicando a equação de Bernoulli para regime transiente entre o reservatório (ponto 1) e a saída do tubo (ponto 2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

Nesse caso, como o ponto 2 está exposto à atmosfera, temos p 2 = p a t m = 0 , dessa forma, iremos obter uma pressão p 1 manométrica. Sabemos também que dentro do reservatório, podemos considerar v 1 = 0 . Dessa forma, a equação se torna:

p ρ + 0 2 2 + g h = 0 ρ + V 2 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

Conforme vimos no Problema 6.89, a velocidade não depende do trajeto s entre 1 e 2, então, podemos retirar esse termo da integral e reescrevê-lo como uma derivada simples, então a equação de Bernoulli se torna:

p ρ + g h = V 2 2 + d V d t ∫ 1 2 d s

Passo 2

Como o caminho s é simplesmente o comprimento L , a equação de Bernoulli se torna:

p ρ + g h = V 2 2 + d V d t L

Agora separando as variáveis, temos:

p ρ + g h - V 2 2 = d V d t L → p ρ + g h - V 2 2 L = d V d t

L d V p ρ + g h - V 2 2 = d t

Integrando essa expressão dos dois lados, temos:

∫ 0 V L d V p ρ + g h - V 2 2 = ∫ 0 t d t

Com o auxílio de uma calculadora, chegamos em:

V t = 2 p ρ + g h . tgh ⁡ p ρ + g h 2 L 2 t

Passo 3

Plotando o gráfico da função obtida no passo 2, temos:

Resposta

V t = 2 p ρ + g h . tgh ⁡ p ρ + g h 2 L 2 t

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