Um eixo de 6 cm de diâmetro gira a 3.000 rpm em um mancal de 20 cm de comprimento com folga uniforme de 0,2 mm. Para condições permanentes de operação, tanto o eixo quanto o mancal na proximidade da folga do óleo estão a 50°C. A viscosidade e a condutividade térmica do óleo lubrificante são 0,05 N.s/m2 e 0,17 W/m.K. Simplificando e resolvendo as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de energia, determine (a) a temperatura máxima do óleo, (b) as taxas de transferência de calor para o mancal e o eixo, e (c) a perda de potência mecânica pela dissipação viscosa do óleo.

Passo 1

Vamos imaginar o mancal como um sistema de duas placas planas paralelas, com óleo entre elas. Umas das placas se move com uma velocidade V e a outra está parada. As superfícies das duas placas estão a 50°C.

Além disso, temos informação de que o diâmetro do eixo ( D ) é 6 cm, a frequência de rotação ( f ) é 3.000 rpm e a folga ( L ) é de 0,2 mm. As propriedades do óleo são: μ = 0,05   N s / m 2 e k = 0,17   W / m K .

Agora que já temos informação do nosso problema iremos calcular a velocidade da placa. O eixo está realizando um movimento circular. Em um movimento circular podemos calcular V a partir de sua frequência de rotação ( f ) e o raio do eixo ( R ):

V = 2 π f R

V = 2 x π x 3000 x 3 x 10 - 2 60

V = 9,4   m / s

Podemos então prosseguir para as equações de continuidade, quantidade de movimento e energia.

Passo 2

  1. Para o escoamento entre duas placas planas paralelas, a equação da continuidade é dada por:
  2. δ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

    Assumindo que o escoamento do óleo é paralelo às placas, v = 0 . Então:

    δ u ∂ x = 0

    u = u ( y )

    O próximo passo é desenvolver a equação da quantidade de movimento:

    ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u d y = μ   ∂ 2 u ∂ y 2 - ∂ P ∂ x

    Como vimos anteriormente v = 0 e δ u ∂ x = 0 ; além disso, como a movimentação do fluido ocorre devido ao movimento da placa, e não devido ao gradiente de pressão, ∂ P ∂ x = 0 .

    Portanto:

    ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

    Integrando em y :

    ∫ ∂ 2 u ∂ y 2 d y = ∫ 0 d y

    ∂ u ∂ y = C 1

    Integrando novamente:

    ∫ ∂ u ∂ y d y = ∫ C 1 d y

    u = C 1 y + C 2

    Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes C 1 e C 2 . Para a velocidade u ( y ) as condições de contorno são:

    u 0 = 0

    u L = 9,4   m / s

    Em que L é o espaçamento entre as placas. Nosso sistema de equações fica:

    0 = C 1 x 0 + C 2 → C 2 = 0

    9,4 = C 1 x L + 0 → C 1 = 9,4 L

    O perfil de velocidade é:

    u y = 9,4 L y

    Agora, vamos para a equação de balanço de energia:

    ρ c p μ ∂ T ∂ x + v ∂ T ∂ y = k   ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

    Como v = 0 e só ocorre transferência de calor na direção y :

    ∂ T ∂ x = 0

    v ∂ T ∂ y = 0

    ∂ 2 T ∂ x 2 = 0

    Portanto ficamos com:

    0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

    0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ( 2 ∂ u ∂ x 2 + ∂ v ∂ y 2 + ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x 2

    0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ∂ u ∂ y 2

    Temos condições de calcular ∂ u ∂ y :

    ∂ u ∂ y = ∂ ∂ y ( 9,4 y L )

    ∂ u ∂ y = 9,4 L

    Substituindo no balanço de energia:

    0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ 9,4 L 2

    0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ 88,8 L 2

    ∂ 2 T ∂ y 2 = -   μ 88,8 k L 2

    Integrando em y :

    ∫ ∂ 2 T ∂ y 2 d y = - ∫ μ 88,8 k L 2 d y

    ∂ T ∂ y = -   μ 88,8 k L 2 y + C 1

    Integrando em y mais uma vez:

    ∫ ∂ T ∂ y d y = ∫ ( - μ 88,8 k L 2 y + C 1 ) d y

    T y = - μ 44,4 k L 2 y 2   + C 1 y + C 2

    Vamos aplicar as condições de contorno para definir as constantes C 1 e C 2 . Para a temperatura sabemos que:

    T 0 = 50 ° C

    T L = 50 ° C

    Então:

    50 ° C = - μ 44,4 k L 2 0 2 + C 1 x 0 + C 2 → C 2 = 50 ° C

    50 ° C = - μ 44,4 k L 2 L 2 + C 1 x L + 50

    0 = - μ 44,4 k + C 1 x L

    μ 44,4 k L = C 1

    Substituindo C 1 e C 2 no perfil de temperatura:

    T y = 50 +   μ 44,4 k L y - ( μ 44,4 k L 2 y 2 )

    T y = 50 +   μ 44,4 k L y - y 2 L

    Com o perfil de temperatura em mãos podemos calcular o ponto de máxima temperatura. Uma breve lembrança dos tempos de cálculo: pontos de máximo ou mínimo de uma função f ( y ) são pontos em que a derivada ∂ f ∂ y = 0 . Então, o que vamos fazer é derivar T ( y ) em relação a y e igualar a zero.

    ∂ T ∂ y = ∂ ∂ y 50 +   μ 44,4 k L y - y 2 L = 0

    μ 44,4 k L 1 - 2 y L = 0

    1 - 2 y L = 0

    1 = 2 y L

    y = L 2

    Encontramos a posição y em que ocorre a temperatura máxima. Vamos agora aplicar este ponto no perfil de temperatura para encontrar a temperatura máxima do sistema:

    T y = 50 +   μ 44,4 k L y - y 2 L

    T y = 50 +   μ 44,4 k L L 2 - L 2 2 L

    T y = 50 +   μ 44,4 k L L 2 - L 2 4 L

    T y = 50 +   μ 44,4 k L L 2 - L 4

    T y = 50 +   μ 44,4 L k L 1 2 - 1 4

    T y = 50 +   μ 44,4 L k L 1 4

    50 +   μ 44,4 k 1 4

    T y = 50 + 0,05 x 44,4 4 x 0,17

    T y = 53,26 ° C

    Passo 3

  3. Nosso próximo passo é calcular o fluxo de calor em cada parede. Sabemos que a camada de fluido em contato com a parede tem a mesma velocidade que ela. Como não há diferença de velocidade o fluxo de calor ocorre por condução. Vamos para a primeira parede ( y = 0 ):
  4. q ˙ y = 0 = - k ∂ T ∂ y y = 0

    Já calculamos a derivada de T em relação a y para descobrir o ponto de máximo. Vamos então substituir a expressão que encontramos:

    q ˙ y = 0 = - k μ 44,4 k L 1 - 2 y L y = 0

    q ˙ y = 0 = - μ 44,4 L

    q ˙ y = 0 = - 0,05 x 44,4 0,2 x 10 - 3

    q ˙ y = 0 = - 1,1 x 10 4 W / m 2

    Agora vamos repetir o procedimento para a parede y = L :

    q ˙ y = L = - k ∂ T ∂ y y = L

    q ˙ y = L = - k μ 44,4 k L 1 - 2 y L y = L

    q ˙ y = L = μ 44,4 L

    q ˙ y = L = 1,1 x 10 4 W / m 2

  5. A perda de potência mecânica (trabalho por unidade de tempo) é dada pela taxa de trabalho de cisalhamento realizado pelo eixo sobre o fluido:

P diss  =   T e n s ã o   d e   C i s a l h a m e n t o   ×   V e l o c i d a d e   ×   Á r e a   P diss  = τ w ⋅ U ⋅ A s   O n d e   a   t e n s ã o   d e   c i s a l h a m e n t o   é   τ w = μ d u d y y = b = μ U b .   P diss  = μ U b ⋅ U ⋅ A s = μ U 2 A s b

Substituindo os valores:

P diss  = ( 0.05 P a ⋅ s ) ⋅ ( 9.425 m / s ) 2 ⋅ 0.0377 m 2 0.0002 m P diss  = 0.05 ⋅ 88.83 ⋅ 0.0377 0.0002 ≈ 0.1675 0.0002 P diss  ≈ 837.5 W

Resposta

  1. T y = 53,26 ° C
  2. q ˙ y = L = 1,1 x 10 4 W / m 2
  3. P diss  ≈ 837.5 W
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