Enunciado

Um eixo de 6 cm de diâmetro gira a 3.000 rpm em um mancal de 20 cm de comprimento com folga uniforme de 0,2 mm. Para condições permanentes de operação, tanto o eixo quanto o mancal na proximidade da folga do óleo estão a 50°C. A viscosidade e a condutividade térmica do óleo lubrificante são 0,05 N.s/m2 e 0,17 W/m.K. Simplificando e resolvendo as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de energia, determine (a) a temperatura máxima do óleo, (b) as taxas de transferência de calor para o mancal e o eixo, e (c) a perda de potência mecânica pela dissipação viscosa do óleo.

Passo 1

Vamos imaginar o mancal como um sistema de duas placas planas paralelas, com óleo entre elas. Umas das placas se move com uma velocidade V e a outra está parada. As superfícies das duas placas estão a 50°C.

Além disso, temos informação de que o diâmetro do eixo ( D ) é 6 cm, a frequência de rotação ( f ) é 3.000 rpm e a folga ( L ) é de 0,2 mm. As propriedades do óleo são: μ = 0,05   N s / m 2 e k = 0,17   W / m K .

Agora que já temos informação do nosso problema iremos calcular a velocidade da placa. O eixo está realizando um movimento circular. Em um movimento circular podemos calcular V a partir de sua frequência de rotação ( f ) e o raio do eixo ( R ):

V = 2 π f R

V = 2 x π x 3000 x 3 x 10 - 2 60

V = 9,4   m / s

Podemos então prosseguir para as equações de continuidade, quantidade de movimento e energia.

Passo 2

Para o escoamento entre duas placas planas paralelas, a equação da continuidade é dada por:

δ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Assumindo que o escoamento do óleo é paralelo às placas, v = 0 . Então:

δ u ∂ x = 0

u = u ( y )

O próximo passo é desenvolver a equação da quantidade de movimento:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u d y = μ   ∂ 2 u ∂ y 2 - ∂ P ∂ x

Como vimos anteriormente v = 0 e δ u ∂ x = 0 ; além disso, como a movimentação do fluido ocorre devido ao movimento da placa, e não devido ao gradiente de pressão, ∂ P ∂ x = 0 .

Portanto:

∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Integrando em y:

∫ ∂ 2 u ∂ y 2 d y = ∫ 0 d y

∂ u ∂ y = C 1

Integrando novamente:

∫ ∂ u ∂ y d y = ∫ C 1 d y

u = C 1 y + C 2

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes C 1 e C 2 . Para a velocidade u ( y ) as condições de contorno são:

u 0 = 0

u L = 9,4   m / s

Em que L é o espaçamento entre as placas. Nosso sistema de equações fica:

0 = C 1 x 0 + C 2 → C 2 = 0

9,4 = C 1 x L + 0 → C 1 = 9,4 L

O perfil de velocidade é:

u y = 9,4 L y

Agora, vamos para a equação de balanço de energia:

ρ c p μ ∂ T ∂ x + v ∂ T ∂ y = k   ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

Como v = 0 e só ocorre transferência de calor na direção y :

∂ T ∂ x = 0

v ∂ T ∂ y = 0

∂ 2 T ∂ x 2 = 0

Portanto ficamos com:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ( 2 ∂ u ∂ x 2 + ∂ v ∂ y 2 + ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x 2

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ∂ u ∂ y 2

Temos condições de calcular ∂ u ∂ y :

∂ u ∂ y = ∂ ∂ y ( 9,4 y L )

∂ u ∂ y = 9,4 L

Substituindo no balanço de energia:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ 9,4 L 2

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ 88,8 L 2

∂ 2 T ∂ y 2 = -   μ 88,8 k L 2

Integrando em y :

∫ ∂ 2 T ∂ y 2 d y = - ∫ μ 88,8 k L 2 d y

∂ T ∂ y = -   μ 88,8 k L 2 y + C 1

Integrando em y mais uma vez:

∫ ∂ T ∂ y d y = ∫ ( - μ 88,8 k L 2 y + C 1 ) d y

T y = - μ 44,4 k L 2 y 2   + C 1 y + C 2

Vamos aplicar as condições de contorno para definir as constantes C 1 e C 2 . Para a temperatura sabemos que:

T 0 = 50 ° C

T L = 50 ° C

Então:

50 ° C = - μ 44,4 k L 2 0 2 + C 1 x 0 + C 2 → C 2 = 50 ° C

50 ° C = - μ 44,4 k L 2 L 2 + C 1 x L + 50

0 = - μ 44,4 k + C 1 x L

μ 44,4 k L = C 1

Substituindo C 1 e C 2 no perfil de temperatura:

T y = 50 +   μ 44,4 k L y - ( μ 44,4 k L 2 y 2 )

T y = 50 +   μ 44,4 k L y - y 2 L

Com o perfil de temperatura em mãos podemos calcular o ponto de máxima temperatura. Uma breve lembrança dos tempos de cálculo: pontos de máximo ou mínimo de uma função f ( y ) são pontos em que a derivada ∂ f ∂ y = 0 . Então, o que vamos fazer é derivar T ( y ) em relação a y e igualar a zero.

∂ T ∂ y = ∂ ∂ y 50 +   μ 44,4 k L y - y 2 L = 0

μ 44,4 k L 1 - 2 y L = 0

1 - 2 y L = 0

1 = 2 y L

y = L 2

Encontramos a posição y em que ocorre a temperatura máxima. Vamos agora aplicar este ponto no perfil de temperatura para encontrar a temperatura máxima do sistema:

T y = 50 +   μ 44,4 k L y - y 2 L

T y = 50 +   μ 44,4 k L L 2 - L 2 2 L

T y = 50 +   μ 44,4 k L L 2 - L 2 4 L

T y = 50 +   μ 44,4 k L L 2 - L 4

T y = 50 +   μ 44,4 L k L 1 2 - 1 4

T y = 50 +   μ 44,4 L k L 1 4

50 +   μ 44,4 k 1 4

T y = 50 + 0,05 x 44,4 4 x 0,17

T y = 53,26 ° C

Passo 3

Nosso próximo passo é calcular o fluxo de calor em cada parede. Sabemos que a camada de fluido em contato com a parede tem a mesma velocidade que ela. Como não há diferença de velocidade o fluxo de calor ocorre por condução. Vamos para a primeira parede ( y = 0 ):

q ˙ y = 0 = - k ∂ T ∂ y y = 0

Já calculamos a derivada de T em relação a y para descobrir o ponto de máximo. Vamos então substituir a expressão que encontramos:

q ˙ y = 0 = - k μ 44,4 k L 1 - 2 y L y = 0

q ˙ y = 0 = - μ 44,4 L

q ˙ y = 0 = - 0,05 x 44,4 0,2 x 10 - 3

q ˙ y = 0 = - 1,1 x 10 4 W / m 2

Agora vamos repetir o procedimento para a parede y = L :

q ˙ y = L = - k ∂ T ∂ y y = L

q ˙ y = L = - k μ 44,4 k L 1 - 2 y L y = L

q ˙ y = L = μ 44,4 L

q ˙ y = L = 1,1 x 10 4 W / m 2

Por fim, vamos calcular a perda de energia por dissipação viscosa. Como vimos no balanço de energia, o termo de dissipação viscosa é:

D i s s i p a ç ã o = μ φ

D i s s i p a ç ã o = μ ( 2 ∂ u ∂ x 2 + ∂ v ∂ y 2 + ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x 2

Como ∂ u ∂ x = 0 e v = 0 :

D i s s i p a ç ã o = μ ∂ u ∂ y 2

Já calculamos ∂ u ∂ y . Substituindo:

D i s s i p a ç ã o = μ 9,4 L 2

D i s s i p a ç ã o = 0,05 9,4 0,2 x 10 - 3 2

D i s s i p a ç ã o = 110,45   N / m 2 s

Vamos apenas converter o nosso resultado para a unidade de potência (W). Para isso, temos que multiplicar o valor da dissipação pelo volume de óleo.

V o l u m e = π x C o m p r i m e n t o 4 ( D e x t 2 - D i n t 2 )

V o l u m e = π x 20 x 10 - 2 4 x 6 x 10 - 2 + 0,4 x 10 - 3 2 - 6 x 10 - 2 2

V o l u m e = 7,6 x 10 - 6   m 3

Multiplicando a dissipação pelo volume:

P o t ê n c i a   d i s s i p a d a = D i s s i p a ç ã o x V o l u m e

P o t ê n c i a   d i s s i p a d a = 8,35   x   10 - 4   W

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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