Enunciado

Ar que escoa a 60   k P a , 240   K e ao número de Mach 3,4 é imposto a uma cunha bidimensional de semi-ângulo 12 ° . Determine os dois ângulos de choque oblíquo possíveis, β f r a c o e β f o r t e , que poderiam ser formados por essa cunha. Para cada caso, calcule a pressão, temperatura e o número de Mach a jusante do choque oblíquo, compare e discuta.

Passo 1

Essa questão é sobre choque oblíquo em uma cunha bidimensional. O enunciado diz que o ar escoa com uma velocidade supersônica (número de Mach maior que 1 M a 1 = 3,4 ) pressão P 1 = 60   K P a e uma temperatura T 1 = 240   K sobre uma cunha. Esse escoamento de ar supersônico forma uma onda de choque oblíquoa com ângulo de choque β em relação ao escoamento.

No entanto, o ângulo β pode ter dois valores, dependendo do número de Mach M a 2 que o ar passa a ter depois de atravessar o choque. Se o número de Mach do ar depois do choque M a 2 for menor que 1, o ângulo de choque β tem um valor maior β f o r t e . Nesse caso, a pressão P 2 , a temperatura T 2 e o número de Mach M a 2 do ar depois do choque terão certos valores.

θ é o ângulo de deflexão do ar. Ou seja, θ é o ângulo que mede o quanto o ar varia de direção, quando atravessa o choque.

Se o número de Mach do ar depois do choque M a 2 for maior que 1, o ângulo de choque β tem um valor menor β f r a c o . Nesse caso, a pressão P 2 , a temperatura T 2 e o número de Mach M a 2 do ar depois do choque terão valores diferentes do caso, no qual β = β f o r t e .

O enunciado pede que a gente calcule primeiro quanto vale β f o r t e e β f r a c o e depois quanto valem P 2 , T 2 e M a 2 para esses dois casos diferentes.

Logo, temos que iniciar a resolução achando β f o r t e e β f r a c o no próximo passo.

Passo 2

Para achar os dois valores de ângulo β ( β f o r t e e β f r a c o ), precisamos de uma equação que nos dê o valor da variável do choque oblíquo que queremos β a partir de termos que já temos, como M a 1 e θ .

A fórmula abaixo faz essa conexão entre termos conhecidos e desconhecidos.

tg ⁡ θ = 2 ⋅ cot ⁡ β ⋅ M a 1 2 ⋅ sen 2 ⁡ β - 1 M a 1 2 ⋅ k + cos ⁡ 2 β + 2

onde k é uma constante que vale 1,4 para o ar.

Apesar da equação de cima relacionar β com termos que conhecemos ( θ e M a 1 ), nós não somos capazes e isolar beta desses dois outros termos para fazer um cálculo direto de β .

Para entender como devemos usar essa fórmula, temos que reorganizá-la.

tg ⁡ θ - 2 ⋅ cot ⁡ β ⋅ M a 1 2 ⋅ sen 2 ⁡ β - 1 M a 1 2 ⋅ k + cos ⁡ 2 β + 2 = 0

Para achar os dois valores de β a partir da equação acima, vamos precisar variar β entre seu valor mínimo β = 0 até seu valor máximo β = 90 ° . Nos pontos onde a diferença entre tg ⁡ θ e 2 ⋅ cot ⁡ β ⋅ M a 1 2 ⋅ sen 2 ⁡ β - 1 M a 1 2 ⋅ k + cos ⁡ 2 β + 2 for igual a zero, β será igual a β f r a c o (esse é o menor valor de β que faz a diferença ser zero) ou β f o r t e (esse será o maior valor de β que faz a diferença ser zero).

Na figura acima nós vemos que:

β f r a c o ≅ 26,75 °

β f o r t e ≅ 86,11 °

Esses são dois valores bem precisos para β f r a c o e β f o r t e que não foram encontrados apenas olhando o gráfico e tentando acertar o valor exato para o qual a diferença dá zero. Essa precisão foi alcançada usando um programa de computador que reconhece os dois valores de β . Esse programa faz justamente o que foi dito antes: varia β até encontrar os dois valroes para os quais a diferença de termos se anula.

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular os dois valores de número de Mach M a 2 para quando o choque é forte β f o r t e ≅ 86,11 ° e para quando o choque é fraco β f r a c o ≅ 26,75 ° . Para isso, precisamos usar a fórmula de choque oblíquo que nos dá os valores de M a 2 a partir do M a 1 . Essa equação se encontra abaixo.

M a 2 , n = k - 1 ⋅ M a 1 , n 2 + 2 2 ⋅ k ⋅ M a 1 , n 2 - k + 1

onde M a 1 , n e M a 2 , n são os números de Mach perpendiculares ao choque oblíquo. A figura abaixo mostra melhor o que são esses números de Mach.

Através da imagem podemos ver que existe uma relação entre M a 1 , n e M a 1 e outra entre M a 2 , n e M a 2 . Como M a 1 , n e M a 2 , n dependem do ângulo β , vai existir um valor de M a 1 , n e M a 2 , n para cada valor de β . As relações são mostradas abaixo.

M a 1 , n = M a 1 ⋅ sen ⁡ β

M a 1 , n = M a 1 ⋅ sen ⁡ β f r a c o       ⟹       M a 1 , n = 3,4 ⋅ sen ⁡ 26,75 °       ⟹       M a 1 , n = 1,530 M a 1 , n = M a 1 ⋅ sen ⁡ β f o r t e       ⟹       M a 1 , n = 3,4 ⋅ sen ⁡ 86,11 °       ⟹       M a 1 , n = 3,392

M a 2 , n = M a 2 ⋅ sen ⁡ β - θ

M a 2 , n = M a 2 ⋅ sen ⁡ β f r a c o - θ       ⟹       M a 2 , n = M a 2 ⋅ sen ⁡ 26,75 ° - 12       ⟹       M a 2 , n = M a 2 ⋅ 0,2546 M a 2 , n = M a 2 ⋅ sen ⁡ β f o r t e - θ       ⟹       M a 2 , n = M a 2 ⋅ sen ⁡ 86,11 ° - 12       ⟹       M a 2 , n = M a 2 ⋅ 0,9618

Logo, para β f r a c o M a 2 , n vale:

M a 2 , n = k - 1 ⋅ M a 1 , n 2 + 2 2 ⋅ k ⋅ M a 1 , n 2 - k + 1

M a 2 , n = 1,4 - 1 ⋅ 1,530 2 + 2 2 ⋅ 1,4 ⋅ 1,530 2 - 1,4 + 1

M a 2 , n = 0,6907

Isso quer dizer que o M a 2 para β f r a c o vale:

M a 2 , n = M a 2 ⋅ sen ⁡ β f r a c o - θ

0,6907 = M a 2 ⋅ 0,2546

M a 2 = 2,71

Para β f o r t e M a 2 , n vale:

M a 2 , n = k - 1 ⋅ M a 1 , n 2 + 2 2 ⋅ k ⋅ M a 1 , n 2 - k + 1

M a 2 , n = 1,4 - 1 ⋅ 3,392 2 + 2 2 ⋅ 1,4 ⋅ 3,392 2 - 1,4 + 1

M a 2 , n = 0,4555

Isso quer dizer que o M a 2 para β f o r t e vale:

M a 2 , n = M a 2 ⋅ sen ⁡ β f o r t e - θ

0,4555 = M a 2 ⋅ 0,9618

M a 2 = 0,474

Passo 4

Nesse passo, vamos calcular os dois valores da pressão do ar após o choque P 2 para quando o choque é forte β f o r t e ≅ 86,11 ° e para quando o choque é fraco β f r a c o ≅ 26,75 ° . Para isso, precisamos usar a fórmula de choque oblíquo que nos dá os valores de P 2 a partir do P 1 . Essa equação se encontra abaixo.

P 2 P 1 = 2 ⋅ k ⋅ M a 1 , n 2 - k + 1 k + 1         ⟹       P 2 = P 1 ⋅ 2 ⋅ k ⋅ M a 1 , n 2 - k + 1 k + 1

Como existem dois valores para M a 1 , n , existirão dois valores para P 2 .

Para β f r a c o P 2 vale:

P 2 = 60 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 1,530 2 - 1,4 + 1 1,4 + 1       ⟹       P 2 = 153,9   k P a

Para β f o r t e P 2 vale:

P 2 = 60 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 3,392 2 - 1,4 + 1 1,4 + 1       ⟹       P 2 = 795,4   k P a

Passo 5

Nesse passo, vamos calcular os dois valores da temperatura do ar após o choque T 2 para quando o choque é forte β f o r t e ≅ 86,11 ° e para quando o choque é fraco β f r a c o ≅ 26,75 ° . Para isso, precisamos usar a fórmula de choque oblíquo que nos dá os valores de T 2 a partir do T 1 . Essa equação se encontra abaixo.

T 2 T 1 = 2 + k - 1 ⋅ M a 1 , n 2 ⋅ 2 ⋅ k ⋅ M a 1 , n 2 - k + 1 k + 1 2 ⋅ M a 1 , n 2

T 2 = T 1 ⋅ 2 + k - 1 ⋅ M a 1 , n 2 ⋅ 2 ⋅ k ⋅ M a 1 , n 2 - k + 1 k + 1 2 ⋅ M a 1 , n 2

Como existem dois valores para M a 1 , n , existirão dois valores para T 2 .

Para β f r a c o T 2 vale:

T 2 = 240 ⋅ 2 + 1,4 - 1 ⋅ 1,530 2 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 1,530 2 - 1,4 + 1 1,4 + 1 2 ⋅ 1,530 2       ⟹       T 2 = 321,7   K

Para β f o r t e T 2 vale:

T 2 =   240 ⋅ 2 + 1,4 - 1 ⋅ 3,392 2 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 3,392 2 - 1,4 + 1 1,4 + 1 2 ⋅ 3,392 2         ⟹       T 2 = 760,7   K

Resposta

β f r a c o ≅ 26,75 °     ∥       M a 2 = 2,71       ∥       P 2 = 153,9   k P a       ∥       T 2 = 321,7   K

β f o r t e ≅ 86,11 °     ∥     M a 2 = 0,474       ∥       P 2 = 795,4   k P a       ∥       T 2 = 760,7   K

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