Enunciado

Um escoamento bidimensional permanente, incompressível, sobre um pequeno hidrofólio cuja corda tem comprimento c = 9,0 mm é modelado com um aplicativo comercial de dinâmica dos fluidos computacional (CFD). A Figura p9-70 mostra uma vista ampliada das linhas de corrente (contornos de função corrente constante). Os valores da função corrente estão em unidades de m²/s. O fluido é água à temperatura ambiente.

(a) Trace uma seta no gráfico para indicar a direção e a intensidade relativa da velocidade no ponto A. Repita para o ponto B. Discuta como os seus resultados podem ser usados para explicar como um corpo ganha sustentação.

(b) Qual é a velocidade aproximada da água no ponto A? (O ponto A está entre as linhas de corrente 1,65 e 1,66 na Figura P9-65).

Passo 1

Fala aí, tudo bem? Vem comigo que eu vou te ajudar a interpretar o enunciado e resolver esse problema.

Nessa questão, a gente tem um hidrofólio de comprimento c   =   9,0   m m por onde escoa água sendo modelado em um programa CFD, e por isso ele tem suas linhas de corrente à mostra.

A questão nos pede, no primeiro momento, pra indicar na figura a direção e intensidade dos vetores de velocidade em dois pontos indicados. Pra isso, a gente deve lembrar a definição da função de corrente compressível:

u = ∂ ψ   ∂ y   e   v = - ∂ ψ   ∂ x

Isso significa que ψ está intimamente ligado à velocidade do escoamento.

Além disso, ainda na letra (a), a gente tem que utilizar nosso resultado pra explicar como o hidrofólio consegue sustentação na água.

Por fim, a gente vai calcular a velocidade aproximada no ponto A indicado na figura. Pra isso, a gente tem que usar a seguinte equação pra cálculo velocidade em um ponto entre duas linhas de corrente:

V =   1 δ ψ 2 - ψ 1

Sendo ψ 1 e ψ 2 os valores das funções de corrente no entorno do ponto e δ a distância entre as linhas de corrente em torno desse ponto.

Pronto, agora podemos ir pros próximos passos e resolver essa questão juntos!

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira parte da letra (a), representando os vetores velocidade nos pontos indicados.

Primeiro, temos que definir a direção dos vetores de velocidade nos pontos A e B.

Pra isso, vamos usar a regra chamada de “convenção do lado esquerdo”, que diz que a função corrente aumentará do lado esquerdo perpendicular à direção do escoamento.

Além disso, a gente tem que definir a magnitude relativa desses vetores. Como o ponto A está em linhas de corrente de valor maior, ele tem uma magnitude do vetor de velocidade maior do que aquele no ponto B.

Se a gente medir com uma régua a distância entre as linhas de corrente em torno dos pontos, a gente vai perceber que eles estão distantes pode 1,6 mm na nossa escala. Ou seja, podemos representar o vetor velocidade no ponto A como sendo 1,6 vezes maior que o de B.

Sendo assim, os vetores velocidade nos pontos A e B podem ser representados como:

Passo 3

Agora, na segunda parte da letra (a), a gente vai discutir como o resultado no qual a gente chegou no Passo 2 pode nos ajudar a entender como um corpo ganha sustentação num fluido.

Pra isso, a gente tem que lembrar que o escoamento é permanente e incompressível, e então a gente pode aplicar a Equação de Bernoulli e analisar o que tá acontecendo. Vamos relembrar por um instante a Equação de Bernoulli:

ρ V ² 2 + P = c o n s t a n t e

Ou seja, quanto maior a velocidade, menor a pressão que o fluido exerce.

Como a gente sabe, as funções de corrente ψ têm um valor maior no ponto A que no ponto B, e por isso a velocidade nesse ponto é maior. Isso significa que a pressão no Ponto B é maior que no ponto A.

A figura abaixo ilustra as pressões (e suas magnitudes relativas) agindo nos pontos A e B:

Como a gente pode ver na figura, P B - P A forma uma resultante de forças que aponta pra cima. Isso se repete ao longo de todo o corpo, fazendo com que ele ganhe sustentação no fluido.

Passo 4

Pra finalizar a questão, vamos agora resolver a letra (b).

Temos que calcular velocidade do ponto A, que está entre as linhas de corrente 1,65 e 1,66.

Mas antes, precisamos descobrir a distância δ entre as linhas de corrente em torno do ponto. Pra isso, basta a gente usar uma régua e medir a distância entre as linhas de corrente 1,65 e 1,66 passando pelo ponto A. Fazendo isso, a gente tem que δ = 0,31   m m = 0,00031   m .

Agora, vamos substituir os valores na equação pra velocidade que eu te mostrei no Passo 1:

V A =   1 δ ψ 2 - ψ 1 = 1 0,00031   m 1,66   m 2 / s - 1,65 m 2 / s  

→ V A =   32,23   m s

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) Os vetores de velocidade nos pontos A e B são demonstrado abaixo:

(b) A velocidade aproximada da água no ponto A é V A =   32,23   m s .

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