Enunciado

Escreva a equação da continuidade de A e as condições de contorno, assim como as considerações simplificadoras para as seguintes situações:

3. Uma esfera de naftaleno está sujeita à sublimação em ar seco estagnado a 1 atm e 72°C. Sabe-se que a pressão de vapor do naftaleno pode ser calculada por:

log ⁡ P A v a p = 10,56 - 3472 T

T ≡ K

P A ≡ m m H g

Passo 1

Eaeee... Beleza???

Nessa questão vamos escrever a equação da continuidade de A:

∂ C A ∂ t + ∇ - ⋅ N - A = R A ' ' '

Maaas vai ser em coordenadas esféricas, ok?

∂ C A ∂ t + 1 r 2 ∂ r 2 N A , r ∂ r + 1 r sen ⁡ θ ∂ sen ⁡ θ N A , θ ∂ θ + ∂ N A , z ∂ z = R A ' ' '

Vamos precisar do fluxo molar de A:

N A , r = - C D A B d y A d r + y A N A , r + N B , r

E fazer simplificações, além de definir as condições de contorno.

Vamos precisar da lei de Rault-Dalton:

x A s P A v a p = y A s P

Mas supondo que a fase líquida é constituída somente por A, então x A = 1 . E daí:

1 P A v a p = y A s P

y A s = P A v a p P

Ahhh... e lembrar que:

1   a t m = 760   m m H g

Passo 2

As considerações são:

- Regime permanente, porque as propriedades do fluido não mudam com o tempo:

∂ C A ∂ t = 0

- Sem reação química homogênea:

R A ' ' ' = 0

- Fluxo radial:

∇ - ⋅ N - A = 1 r 2 ∂ r 2 N A , r ∂ r

Daí, depois dessas simplificações, temos a equação da continuidade reduzida a: (repara só que como está só em uma direção, na radial, não precisamos mais usar a derivada parcial e podemos mudar pro d’zinho de derivada normal)

1 r 2 d r 2 N A , r d r = 0

d r 2 N A , r d r = 0

Passo 3

Agora pegando a equação do fluxo molar:

N A , r = - C D A B d y A d r + y A N A , r + N B , r

Maaas, como o ar está estagnado no capilar:

N B , r = 0

E ficamos com:

N A , r = - C D A B d y A d r + y A N A , r

1 - y A N A , r = - C D A B d y A d r

N A , r = - C D A B 1 - y A d y A d r

Substituindo no que achamos no passo anterior:

d r 2 N A , r d r = 0

d d r r 2 - C D A B 1 - y A d y A d r = 0

Repara que as constantes a gente pode botar pra fora:

C D A B d d r - r 2 1 - y A d y A d r = 0

E passar pro outro lado dividindo, maaaas zero dividido por qualquer coisa é zero, né?

d d r - 1 1 - y A d y A d r = 0

Passo 4

Agora vamos achar as condições de contorno.

Na superfície da esfera, vamos ter:

r = R ; y A = y A s

Vamos usar essa equaçãozinha que ele deu pra achar a pressão de vapor:

log ⁡ P A v a p = 10,56 - 3472 T

Como T = 72 ° C , mas temos que converter pra Kelvin por causa da equação ( T K = 72 + 273,15 = 345,15 ):

log ⁡ P A v a p = 10,56 - 3472 3 45,15

P A v a p = 1,65   m m H g

Aplicando a lei de Raoult_Dalton: (com 1   a t m = 760   m m H g )

y A s = P A v a p P

y A = 1,65 760

y A = 2 , 17 × 10 - 3

Então:

r = R ; y A = 2,17 × 10 - 3

E conforme o raio vai aumentando e se afastando da superfície:

r → ∞ ; y A = 0

Mais uma que foi. Vamos pra próxima?

Resposta

d d r - 1 1 - y A d y A d r = 0

CC1: r = R ; y A = 2,17 × 10 - 3

CC2: r → ∞ ; y A = 0