Enunciado

O esquema da figura corresponde à seção longitudinal de um canal de 25 cm de largura. Admite-se que a velocidade é invariável ao longo da normal ao plano do esquema, sendo variável com y através de v = 30 y - y 2 (y em cm e v em cm/s). Sendo o fluido de peso específico 9 N/L, a viscosidade cinemática 70cSt, g = 10 m/s², determinar:

a) o gradiente de velocidade para y = 2 cm;

b) a máxima tensão de cisalhamento na seção em N/m²;

c) a velocidade média na seção em cm/s;

d) a vazão em massa na seção em kg/h;

e) o coeficiente da energia cinética α na seção.

Passo 1

O gradiente de velocidade pode ser encontrado derivando a função v em relação a y e substituindo o valor do ponto de interesse, dessa forma:

d v d y = 30 - 2 y → d v d y y = 2 = 30 - 2 2 → d v d y y = 2 = 26   s - 1

Passo 2

Agora, sabemos que a tensão de cisalhamento é máxima para y = 0 e é dada por:

τ = μ d v d y y = 0

Antes de resolver a equação, precisamos do valor de μ , sabendo que ν = 70 c S t = 0,7 S t e que 1 S t = 1.10 - 4   m 2 / s , temos então:

ν = 0,7 S t = 0,7.10 - 4   m 2 / s

E, sabendo que o peso específico é γ = 9   N / L   = 9000   N / m 3 , podemos encontrar μ através de:

μ = γ ν g = 9000 0,7.10 - 4 10 → μ = 0,063   N . s / m 2

Agora, substituindo esse valor na equação para a tensão de cisalhamento, temos:

τ = 0,063 30 - 2 0 → τ = 1,89   N / m 2

Passo 3

Agora, para a letra c), vamos usar a equação da velocidade média, dada por:

v m = 1 A ∫ A   v d A

Sabendo que a área é retangular, podemos reescrever a integral como:

v m = 1 b h ∫ 0 5 30 y - y 2 b d y → v m = 1 5 ∫ 0 5 30 y - y 2 d y

Agora, resolvendo a integral, temos:

v m = 1 5 30 y 2 2 - y 3 3 0 5 → v m = 1 5 30 2 5 2 - 5 3 3 - 0 → v m = 66,7   c m / s

Passo 4

Agora podemos encontrar a vazão mássica na seção através de:

Q m = ρ v m A = ρ v m b h = 900 66,7.10 - 2 0,05 0,25 → Q m = 7,5   k g / s

Para obter o valor em k g / h , basta multiplicar o valor anterior por 3600, obtendo:

Q m = 27013,5   k g / h

Passo 5

Agora para encontrar o coeficiente α , vamos usar sua equação:

α = 1 A ∫ A   v v m 3 d A

Substituindo os valores conhecidos na equação, temos:

α = 1 b h ∫ 0 5 30 y - y 2 66,7 3 b d y → α = 1 5 ∫ 0 5 30 y - y 2 66,7 3 d y

α = 1 1,484.10 6 ∫ 0 5 30 y - y 2 3 d y

Agora, abrindo o produto notável:

α = 1 1,484.10 6 ∫ 0 5 27000 y 3 - 2700 y 4 + 30 y 5 - y 6 d y

Resolvendo a integral:

α = 1 1,484.10 6 27000 y 4 4 - 2700 y 5 5 + 30 y 6 6 - y 7 7 0 5

Substituindo os limites de integração, temos:

α = 1 1,484.10 6 27000 5 4 4 - 2700 5 5 5 + 30 5 6 6 - 5 7 7 - 0

Então, o valor de α será:

α = 1,75

Resposta

d v d y y = 2 = 26   s - 1

τ = 1,89   N / m 2

v m = 66,7   c m / s

Q m = 27013,5   k g / h

α = 1,75

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