Enunciado

Estudantes estão brincando com uma mangueira de água. Quando eles a apontam para cima, o jato de água atinge apenas uma das janelas do escritório do Professor Pritchard, a 10 m de altura. Se o diâmetro da mangueira é de 1 cm, estime a vazão de água (L/min). O professor Pritchard desce e coloca sua mão um pouco acima da mangueira, obrigando o jato a sair pelos lados assimetricamente. Estime a pressão máxima e força total que ele sente. No dia seguinte, os estudantes estão brincando novamente; dessa vez, a meta é a janela do Professor Fox, 15 m acima. Ache a vazão (L/min) e a força total e a pressão máxima quando ele, naturalmente, aparece e bloqueia o escoamento.

Passo 1

Tá legal! Esse problema pode ser modelado como o problema 4.111, onde existe um fluxo de água na direção horizontal, e ao encontrar um anteparo, nesse caso, a mão dos professores, é defletida para ambos os lados, então, podemos aproveitar a ilustração do problema anterior e desenhar nosso volume de controle.

Então vamos começar analisando o problema para o primeiro caso, da janela do professor Pritchard, então, aplicando Bernoulli entre a saída do jato e a altura máxima atingida pela água:

p j ρ + v j 2 2 + g ( 0 ) = p h ρ + v h 2 2 + g ( h )

Como os dois pontos de análise estão expostos ao ambiente, podemos cancelar os termos de pressão que aparecem, e sabendo que na altura máxima atingida pela água temos v h = 0 , a equação se torna:

v 2 2 = g h → v = 2 g h = 2 ( 9,8 ) ( 10 ) → v = 14   m / s

E, com isso, podemos calcular a vazão de água nesse caso:

Q = v A = v π D 2 4 = 14 π 0,01 2 4 → Q = 1,1.10 - 3   m 3 / s

E, convertendo para L / m i n :

Q = 1,1.10 3 m 3 s 1000   L 1   m 3 60   s 1   m i n → Q = 66   L / m i n

Passo 2

Agora, para calcular a pressão máxima pode ser encontrada através de Bernoulli entre a saída do jato e o ponto de contato em sua mão:

p j ρ + v j 2 2 + g ( 0 ) = p m a x ρ + v h 2 2 + g ( 0 )

Como os dois pontos de análise estão expostos ao ambiente, podemos cancelar o termo de pressão do jato (que seria a pressão atmosférica) e calcular a pressão máxima relativa. E sabendo que quando o jato bate na mão do professor, podemos considerar esse ponto como sendo um ponto de estagnação, ou seja, v h = 0 , então a equação se torna:

0 ρ + v j 2 2 = p m a x ρ + 0 2 2 → p m a x = ρ v j 2 2 = ( 997 ) 14 2 2 → p m a x = 97,8   k P a

Agora vamos aplicar a equação 4.18a apresentada nessa seção do equilíbrio de momento para o volume de controle do passo 1:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Como não temos força de campo na direção x então F B x = 0 e como o escoamento se dá em regime permanente, então a derivada no tempo também será zero, dessa forma, substituindo os valores conhecidos, temos:

F S x = u 1 ( - ρ u 1 A 1 )

E, nesse caso, temos u 1 = v = 14,14   m / s , então, substituindo os valores conhecidos:

F S x = - ρ v 2 π D 2 4 = - 997 14 2 π 0,01 2 4 → F S x = - 15 , 3   N

Então, a força total que o professor sente possui a mesma intensidade, mas sentido oposto, logo:

R x = 15,3   N

Passo 3

Agora vamos repetir os mesmos passos, só que para a mão e a janela do professor Fox, então, temos:

p j ρ + v j 2 2 + g ( 0 ) = p h ρ + v h 2 2 + g ( h )

Como os dois pontos de análise estão expostos ao ambiente, podemos cancelar os termos de pressão que aparecem, e sabendo que na altura máxima atingida pela água temos v h = 0 , a equação se torna:

v 2 2 = g h → v = 2 g h = 2 ( 9,8 ) ( 15 ) → v = 17,1   m / s

E, com isso, podemos calcular a vazão de água nesse caso:

Q = v A = v π D 2 4 = 17,1 π 0,01 2 4 → Q = 1,34 . 10 - 3   m 3 / s

E, convertendo para L / m i n :

Q = 1,34 . 10 3 m 3 s 1000   L 1   m 3 60   s 1   m i n → Q = 80,6   L / m i n

Passo 4

Agora, para calcular a pressão máxima pode ser encontrada através de Bernoulli entre a saída do jato e o ponto de contato em sua mão:

p j ρ + v j 2 2 + g ( 0 ) = p m a x ρ + v h 2 2 + g ( 0 )

Como os dois pontos de análise estão expostos ao ambiente, podemos cancelar o termo de pressão do jato (que seria a pressão atmosférica) e calcular a pressão máxima relativa. E sabendo que quando o jato bate na mão do professor, podemos considerar esse ponto como sendo um ponto de estagnação, ou seja, v h = 0 , então a equação se torna:

0 ρ + v j 2 2 = p m a x ρ + 0 2 2 → p m a x = ρ v j 2 2 = 997 17,1 2 2 → p m a x = 145,8   k P a

Agora vamos aplicar a equação 4.18a apresentada nessa seção do equilíbrio de momento para o volume de controle do passo 1:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Como não temos força de campo na direção x então F B x = 0 e como o escoamento se dá em regime permanente, então a derivada no tempo também será zero, dessa forma, substituindo os valores conhecidos, temos:

F S x = u 1 ( - ρ u 1 A 1 )

E, nesse caso, temos u 1 = v = 17,1   m / s , então, substituindo os valores conhecidos:

F S x = - ρ v 2 π D 2 4 = - 997 17,1 2 π 0,01 2 4 → F S x = - 22,9   N

Então, a força total que o professor sente possui a mesma intensidade, mas sentido oposto, logo:

R x = 22,9   N

Resposta

Q = 66   L / m i n ;   p m a x = 97,8   k P a ;   R x = 15,3   N

Q = 80,6   L / m i n ;   p m a x = 145,8   k P a ;   R x = 22,9   N

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