Enunciado

A etapa final de um processo de fabricação, na qual um revestimento protetor é aplicado na superfície interna de um tubo circular, envolve a passagem de ar atmosférico seco através do tubo para remover o líquido residual associado ao processo. Considere um tubo revestido com 5 m de comprimento e um diâmetro interno de 50 mm. O tubo é mantido a uma temperatura de 300 K e o líquido residual está presente como uma fina película cuja pressão de vapor correspondente é de 15 mm Hg. A massa molar e o coeficiente de difusão do vapor são μ A = 70   k g / k m o l e D A B = 10 - 5   m 2 / s , respectivamente. O ar entra no tubo com uma velocidade média de 0,5 m/s e a uma temperatura de 300 K.

  1. Estime a pressão parcial e a concentração mássica do vapor no ar que sai do tubo.
  2. Qual é a taxa de remoção de líquido do tubo em kg/s?

Passo 1

Bom, queremos determinar dois parâmetros: a concentração de vapor de água na saída do tubo e a taxa na qual o vapor é adicionado.

Vamos começar a questão descobrindo se o escoamento do ar é laminar ou turbulento. Para isto, vamos calcular o número de Reynolds. Da Tabela A.4, obtemos ρ a r = 1,1 614   k g / m 3 e ν a r = 1 5 , 89 ⋅ 10 - 6   N ⋅ s / m 2 , P r = 0,707 .

Então, calculando o número de Reynolds, temos:

R e = u D ν = 0,5 ⋅ 0,05 15,89 ⋅ 10 - 6 = 1573

Como R e < 2300 , podemos assumir um escoamento laminar. Agora, precisamos calcular o comprimento de entrada fluidodinâmica e térmica. Ela será:

x c d , ν = 0,05 R e D = 0,05 ⋅ 1573 ⋅ 0,0 5 = 3 , 93   m

Para calcularmos a camada térmica, vamos precisar do número de Schmidt. Diretamente do enunciado da questão, obtemos: D A B = 10 - 5   m 2 / s e S c = ν D A B = 15 , 89 ⋅ 10 - 6 10 - 5 = 1,589 .

x c d , t = 0,05 R e ⋅ S c ⋅ D = 3,93 ⋅ 1,589 = 6,245   m

Então, na saída no tudo, teremos uma camada hidrodinâmica totalmente desenvolvida, não temos o caso do comprimento de entrada combinado.

Passo 2

Agora que sabemos as condições que o nosso caso atende, podemos buscar a correlação para o número de Nusselt que iremos utilizar, e assim descobrir o coeficiente de convecção de massa, o qual é essencial para calcularmos a concentração de vapor na saída do tubo.

Assim, a correlação que buscamos será:

N u - = 3,66 + 0,0668 D L R e P r 1 + 0,04 D L R e P r 2 / 3

Então, se trocarmos o número de Nusselt pelo de Sherwood e o número de Prandt pelo número de Schmidt, para podermos calcular o coeficiente de convecção de massa, temos:

h - m D D A B = 3,66 + 0,0668 D L R e S c 1 + 0,04 D L R e S c 2 / 3

h - m = D A B D ⋅ 3,66 + 0,0668 D L R e S c 1 + 0,04 D L R e S c 2 / 3

Agora estamos quase lá! Só substituir os valores na relação acima. Então,

h - m = 10 - 5 0,0 5 ⋅ 3,66 + 0,0668 0,0 5 5 1573 ⋅ 1,589 1 + 0,04 0,0 5 5 1573 ⋅ 1,589 2 / 3

h - m = 2 ⋅ 10 - 4 ⋅ 3,66 + 1,6696 1 + 0,04 24,995 2 / 3

h - m = 9,8 ⋅ 10 - 4   m / s

Passo 3

Quase terminando a nossa questão! Relembrando a equação 8.86, temos:

ρ A , s - ρ A , m x ρ A , s - ρ A , m , e n t = e - h - m ρ P m ˙ x

Para estimarmos a pressão parcial, como estamos trabalhando com um gás ideal, podemos modificar a nossa relação acima.

Por ser um gás ideal, temos p A = ρ A R T / μ A . Esta relação é muito importante para modificarmos a equação 8.86. Ao invés de escrevermos em função da concentração ρ , podemos escrevê-la em relação a pressão parcial p A . Então,

p A , s - p A , m x p A , s - p A , m , e n t = e - h - m ρ P m ˙ x

E essa é a relação que devemos utilizar.

Sabemos que p A , s = 15   m m   H g , pois foi dado na questão. Também sabemos que p A , m , e n t = 0 , pois não contém vapor inicialmente.

E quem é p A , m x ? Ou melhor, quando x = 5 ,   p A , m 5 ? E exatamente este o valor que queremos calcular. Antes de substituirmos os valores na relação, nos resta calcular a vazão mássica m ˙ . Então,

m ˙ = ρ u A = 1,1614 ⋅ 0,5 ⋅ π ⋅ 0,05 2 4 = 1,14 ⋅ 10 - 3   k g / m 3

Agora sim, substituindo os valores de cada constante na nossa relação para descobrir p A , m 5 , temos:

15 - p A , m 5 15 - 0 = e - 9,8 ⋅ 10 - 4 ⋅ 1,1 614 ⋅ π ⋅ 0,0 5 1,14 ⋅ 10 - 3 ⋅ 5

p A , m 5 = 8,2   m m   H g

E essa é a pressão parcial do vapor no ar! Vamos só estender um pouco o nosso cálculo para calcular a concentração de vapor. Para isto, vamos utilizar a lei dos gases ideais. Então,

p A = ρ A R T μ A ⟹ ρ A = p A μ A R T

Substituindo os valores das constantes, temos:

ρ A = 8,2 760 ⋅ 70 0,082 ⋅ 300 = 0,031   k g / m 3

E essa é a concentração do vapor. Assim, finalizamos, finalmente, a letra a).

Passo 4

Estamos quase finalizando a questão. Agora, vamos calcular a taxa de remoção de líquido. Confuso? Podemos ler esta pergunta da seguinte forma também: qual a taxa de evaporação de líquido?

Agora sim, né? E como faremos isto? Basta utilizar a seguinte relação:

n A = m ˙ ρ ρ A , m , s a i - ρ A , m , e n t

Então, substituindo os valores que já discutimos durante toda a questão, temos:

n A = 1,14 ⋅ 10 - 3 1,1 614 0,0 31 - 0 = 3 , 04 ⋅ 10 - 5   k g / s

E assim realmente terminamos a nossa questão!

Resposta

  1. p A , m 5 = 8,2   m m   H g

    ρ A = 0,031   k g / m 3

n A = 3,04 ⋅ 10 - 5   k g / s

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