Enunciado

Example 2.5 calculated the force on plate AB and its line

of action, using the moment-of-inertia approach. Some

teachers say it is more instructive to calculate these

by direct integration of the pressure forces. Using

Figs. P2.52 and E2.5a, (a) find an expression for the

pressure variation p(ξ) along the plate; (b) integrate this

expression to fi nd the total force F; (c) integrate the

moments about point A to find the position of the center

of pressure.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Calcule a pressão no ponto A usando a relação,

p A = γ h A

Aqui, é γ o peso específico da água do mar e a profundidade do ponto A da superfície livre é h A Substituindo 64 l b f / f t 3 para γ e 9 f t para h A

p A   = 64 × 9   = 576 l b f / f t 2

Calcule a pressão no ponto B usando a relação,

p B = γ h B

Aqui, h B é a profundidade do ponto a B partir da superfície livre. Substituto 64 l b f / f t 3 de γ e 15 f t para h B

p B   = 64 × 15   = 960 l b f / f t 2

Passo 2

(a) Calculando a distribuição de pressão ao longo do comprimento do portão ( ξ )

p ( ξ ) = p A - p B ξ

Aqui, ξ é o comprimento do portão. Encontre o comprimento do portão.

ξ   = 8 2 + 6 2   = 64 + 36   = 10 f t

Substituir 960 l b f / f t 2 por p B , 576 l b f / f t 2 p A , e 10 f t por ξ

Δ p   = 960 - 576 10   = 38.4 l b f / f t 2 / f t

A expressão para a variação de pressão ao longo do comprimento do comido torna-se,

p ( ξ )   = p A + Δ p ( ξ )   = 576 + 38.4 ( ξ )

Portanto, a expressão para a variação de pressão ao longo do comprimento do portão é

p ( ξ ) = 576 + 38.4 ( ξ )

Passo 3

(b) Encontre a força total ao longo do comprimento do portão, integrando a expressão para a distribuição de pressão p ( ξ ) ,

F   = ∫ 0     p d A   = ∫ 0 10 ft     p ( b d ξ )

Aqui, a largura do portão é b Substituta 576 + 38.4 ( ξ ) para p ( ξ ) e 5 f t para b

F   = ∫ 0 10 R     ( 576 + 38.4 ξ ) ( 5 d ξ )   = ∫ 0 10 t     ( 2880 + 192 ξ ) d ξ   = 2880 [ ξ ] 0 10 + 192 ξ 2 2 0 10   = 2880 [ 10 - 0 ] + 192 10 2 2 - 0 2 2 F   = 38400 l b f

Portanto, a força total ao longo do comprimento do portão é 38400 l b f .

Passo 4

(c) Calcular o momento de inércia da força sobre o ponto A ,

M A   = F × ξ   = ∫ 0 10 f t     ξ p ( ξ ) b d ξ

Substituindo 576 + 38.4 ( ξ ) de p ( ξ ) e 5 f t para b

M A   = ∫ 0 10 f     ξ ( 576 + 38.4 ( ξ ) ) 5 d ξ   = ∫ 0 10 f t     2880 ξ + 192 ξ 2 d ξ   = 2880 ξ 2 2 0 10 f t + 192 ξ 3 3 0 10 t   = 2880 10 2 2 + 192 10 3 3 M A   = 144000 + 64000   = 208000 l b ⋅ f t

Passo 5

Encontre a posição do centro de pressão usando a relação,

ξ ‾ = M A F

208000 l b ⋅ f t Substitua M A , e 38400 l b f por F

ξ ‾   = 208000 38400   = 5.42 f t

Portanto, a posição do centro de pressão a partir do ponto A é 5.42 f t

Resposta

a) p ξ = 576 + 38.4 ξ

b) F = 38400 l b f

c) ξ ‾ = 5.42 f t

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