Enunciado

No Exemplo 8.3, deduzimos o perfil de velocidades para escoamento laminar sobre uma parede vertical usando um volume de controle diferencial. Em vez disso, seguindo o procedimento que nós usamos no Exemplo 5.9, deduza o perfil de velocidades partindo das equações de Navier-Stoker (Eqs. 5.27). Assegure-se de fazer todas as considerações necessárias para a dedução.

Passo 1

Tá legal, a primeira coisa que devemos fazer é escrever as equações de Navier-Stokes, então, teremos:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Essa será nossa equação 1. Ainda temos:

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2

ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = ρ g z - ∂ p ∂ z + μ ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2

Essas serão nossas equações 2, 3 e 4 respectivamente.

Passo 2

Beleza! Agora vem a parte das considerações, sabemos que nesse caso temos regime permanente, então podemos cancelar os termos dependentes do tempo das equações 2, 3 e 4. Temos também que o escoamento é incompressível, então ρ = c t e . Agora, sabemos que não teremos nenhuma variação ou alteração na direção z , de modo que o restante da sua equação 4, além do termo no tempo que já cancelamos, será zero. E também todos os outros termos nas equações 1, 2 e 3 que dependem de w serão iguais a zero.

Passo 3

Agora, assumindo escoamento totalmente desenvolvido, não teremos nenhuma variação de propriedade na direção x , com exceção da pressão, então todas as derivadas com relação a x podem ser igualadas a zero. Podemos também desconsiderar as forças de campo na direção y , de modo que g y = 0 . Então, até o momento, as equações se tornaram:

∂ v ∂ y = 0

ρ v ∂ u ∂ y = ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ y 2

ρ v ∂ v ∂ y = - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ y 2

Agora, da primeira equação vimos que a derivada da velocidade v em y é igual a zero, desse modo, como v é zero na superfície sólida, então, já que deve ser constante, ele é zero para todo o intervalo, desse modo, podemos zerar os termos que apresentam v nas outras duas equações, e elas se tornam:

0 = ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ y 2

0 = - ∂ p ∂ y + 0 → ∂ p ∂ y = 0

Através dessa última equação, temos que a pressão será constante ao longo da camada de fluido, no entanto, sabemos que na superfície, como ela está exposta ao ambiente, teremos p = p a t m , desse modo, p é constante ao longo do fluido todo em qualquer direção, então teremos também:

∂ p ∂ x = 0

E a equação restante na direção x se torna:

0 = ρ g x - 0 + μ ∂ 2 u ∂ y 2 → μ ∂ 2 u ∂ y 2 + ρ g = 0

Passo 4

Agora vamos integrar essa última expressão obtida em y , então, teremos:

μ ∂ u ∂ y + ρ g y = c 1 → ∂ u ∂ y = - ρ g y μ + c 1 μ

E, integrando novamente, temos:

u = - ρ g y 2 2 μ + c 1 y μ + c 2 → u = - ρ g y 2 2 μ + c 1 μ y + c 2

Agora, para descobrir o valor das constantes c 1 e c 2 , vamos aplicar as condições de contorno, então, sabemos que na superfície de contato y = 0 , teremos velocidade u = 0 , e também que na superfície em contato com o ambiente não teremos força de cisalhamento, de modo que μ d u / d y = 0 . Então, as condições de contorno são:

y = 0 → u = 0

y = δ → μ d u d y = 0

Então, da primeira condição, temos:

u = - ρ g y 2 2 μ + c 1 μ y + c 2 → 0 = - ρ g 0 2 2 μ + c 1 μ 0 + c 2 → c 2 = 0

E, da segunda condição, temos:

μ ∂ u ∂ y = - μ ρ g y μ + μ c 1 μ → 0 = - ρ g δ + c 1 → c 1 = ρ g δ

Então, o perfil de velocidade será:

u = - ρ g y 2 2 μ + c 1 μ y + c 2 → u = - ρ g y 2 2 μ + ρ g δ μ y

Colocando o termo ρ g δ 2 / μ em evidência para obter a equação no formato igual àquele obtido no Exemplo 8.3, então, teremos:

u = ρ g δ 2 μ y δ - 1 2 y δ 2

Pronto, isso é o que o exercício nos pediu para mostrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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