Enunciado

Na Figura FE3.1, água sai de um bocal à pressão atmosférica de 101 kPa. Se a velocidade é V 2 = 8   m / s e o atrito é desprezado, qual é a força axial no flange, necessária para manter o bocal fixado ao tubo 1?

(a) 11 N, (b) 56 N, (c) 83 N, (d) 123 N, (e) 110 N

Passo 1

Para calcular a força axial no flange vamos precisar fazer uma análise da quantidade de movimento para o seguinte volume de controle em vermelho:

Olhando para o volume de controle vemos que em 1 o fluxo entre no volume de controle e em 2 o fluxo sai, sendo assim, de forma simples, o que entra é negativo e o que sai é positivo para quantidade de movimento. Como possuímos apenas movimento no eixo x, não vamos precisar analisar nada em y, sendo assim, o fluxo de quantidade de movimento em x na entrada do volume de controle é - m ˙ V 1 e na saída é m ˙ V 2 .

Vamos fazer agora um balanço das forças no volume de controle. Como disse ali em cima, vamos analisar apenas em x, logo:

∑ F x = - F a + p 1 A 1

Estas são as forças em x, F a representa a força axial no flange e é o que estamos procurando. Ela possui aquele sinal de menos na frente porque é uma força oposta ao fluxo (adotei esse o sentido positivo de x). p 1 A 1 representa o termo de força exercida na seção transversal onde está localizada o flange.

Agora é só lembrar que ∑ F x = - m ˙ V 1 + m ˙ V 2 e substituir:

- m ˙ V 1 + m ˙ V 2 = - F a + p 1 A 1

Isolando F a :

F a = m ˙ V 1 - m ˙ V 2 + p 1 A 1 = p 1 A 1 + m ( ˙ V 1 - V 2 )

Agora vamos precisar encontrar p 1 , V 1 e m ˙ .

Passo 2

Começando com a vazão mássica ( m ˙ ).

Este parâmetro é um pouco mais simples de encontrarmos pois:

m ˙ = ρ * Q

Como o fluido escoando é a água, ρ = 1000 k g m 3 . Para a vazão nós podemos usar a velocidade 2 que foi dada no problema e a área de seção transversal em 2 (só usar o diâmetro D 2 = 4   c m = 0,04   m ):

Q 2 = V 2 * A 2 = V 2 D 2 2 π 4 = 8 * 0,04 2 * π 4 = 0,010 m 3 s

Com isso:

m ˙ = ρ * Q = 1000 * 0,010 = 10 k g s

Passo 3

Para encontrar o valor de V 1 nós temos que usar vazão volumétrica de 2, que pela equação da continuidade é a mesma que em 1, ou seja, Q 1 = Q 2 = 0,010 m 3 s , e o diâmetro ( D 1 = 7   c m = 0,0 7   m ), sendo assim:

Q 1 = V 1 * A 1

V 1 = Q 1 A 1 = Q 1 π D 1 2 4 = 4 * Q 1 π D 1 2 = 4 * 0,0 10 3,14 * 0,0 7 2 = 2,60 m s  

Passo 4

Para o valor de p 1 vamos utilizar Bernoulli:

p 1 + ρ 2 V 1 2 + ρ g z 1 = p 2 + ρ 2 V 2 2 + ρ g z 2

Vamos adotar que o ponto 1 e o ponto 2 estão na mesma altura, ou seja, ∆ z = 0 , segundo, como p 2 é a pressão atmosférica, vamos assumir que p 2 = 0 porque dessa maneira já vamos encontrar direto a pressão manométrica em 1. Equacionando:

p 1 + ρ 2 V 1 2 = ρ 2 V 2 2

p 1 = ρ 2 V 2 2 - V 1 2 = 1000 2 8 2 - 2,60 2 = 28620   P a

Passo 5

Agora é só substituir os valores:

F a = p 1 A 1 + m ( ˙ V 1 - V 2 ) = 28620 * π D 1 2 4 + 10 * ( 2,60 - 8 ) = 28620 * π 0,07 2 4 + 10 * ( 2,60 - 8 )

F a = 56,14   N

Resposta

Letra D: (b) 56 N

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