Enunciado

Em um certo processo industrial, óleo de massa específica ρ escoa através do tubo inclinado da Figura PA3.1. Um manômetro tipo-U, com fluido de massa específica ρ m , mede a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2, como mostra a figura. O escoamento no tubo é permanente, de modo que os fluidos nos manômetros estão estacionários. (a) Encontre uma expressão analítica para p 1 – p 2 em termos dos parâmetros do sistema. (b) Discuta as condições sobre h, necessárias para não haver escoamento no tubo. (c) E quanto ao escoamento para cima, de 1 para 2? (d) E quanto ao escoamento para baixo, de 2 para 1?

Passo 1

Vamos primeiro encontrar uma expressão para p 1 - p 2 . Para isso precisamos encontrar as pressões hidrostáticas. Vou começar adicionando os pontos A e B na figura:

Agora bora lá. Vamos achar a pressão hidrostática entre 1 e A:

p 1 - p A = - ρ g ( s + h )

Entre A e B:

p A - p B = ρ M g h

E entre B e 2:

p B - p 2 = ρ g ( s + ∆ z )

Onde ∆ z = z 2 - z 1 , ou seja, a diferença de altura entre 1 e 2.

Vamos somar todas essas equações e simplifica-las:

p 1 - p A + p A - p B + p B - p 2 = - ρ g s + h + ρ M g h + ρ g ( s + ∆ z )

p 1 - p 2 = - ρ g s - ρ g h + ρ M g h + ρ g s + ρ g ∆ z

p 1 - p 2 = ρ g ∆ z - ρ g h + ρ M g h

p 1 - p 2 = ρ g ∆ z + g h ( ρ M - ρ )

Passo 2

Para as letras “b”, ”c” e ”d” vamos precisar fazer algumas analises.

Começando com a letra “b”, para que não ocorra escoamento no tubo a diferença de pressão deve ser inteiramente hidrostática, ou seja, a altura no manômetro deve ser zero ( h = 0 ). Algo do tipo terá que ocorrer:

Caso ocorra escoamento e o seu sentido seja de 1 para 2, algo do tipo acontecerá:

Como podemos ver, a pressão em 1 será maior que no caso em que não ocorre fluxo, sendo assim h > 0 .

E no caso em que o fluxo ocorre de 2 para 1, a pressão em 1 será menor que no caso em que não ocorre fluxo, ou seja, h < 0 e algo do tipo acontece:

Resposta

Letra a) p 1 - p 2 = ρ g ∆ z + g h ( ρ M - ρ ) ;

Letra b) h = 0 ;

Letra c) h > 0 ;

Letra d) h < 0 .

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