Enunciado

Na figura a seguir todos os quatro tubos são de ferro fundido de 45 m de comprimento e de 8 cm de diâmetro e se encontram na junção a, fornecendo água a 20°C. As pressões são conhecidas nos quatro pontos como mostrado:

P 1 = 950   k P a

P 2 = 350   k P a

P 3 = 675   k P a

P 4 = 100   k P a

Desprezando as perdas localizadas, determine a vazão em cada tubo.

Passo 1

Opa, tranquilidade aí? Bora para mais uma aventura de mecflu? Vem comigo!

Primeira coisa que vamos fazer é pegar as propriedades da água na temperatura de 20°C.

ρ = 998   k g / m ³

μ = 0,001   k g / m . s

Bem, os tubos são feitos de ferro fundido, ou seja, todos eles devem possuir a mesma rugosidade ϵ = 0,26   m m , portanto a rugosidade relativa é:

ϵ a = 0,26   x 10 - 3 8   x   10 - 2 = 0,00 325

Note também que todos os tubos tem L D = 45 0,08 = 562,5 .

Bem, uma metodologia muito utilizada para esse tipo de problema é: chutamos um valor de pressão no ponto de interseção dos tubos, iteramos para calcular os valores de f e vazão de tal forma que o saldo líquido de vazão na junção seja ZERO!!

Passo 2

Vamos chutar p a = P 1 + P 2 + P 3 + P 4 4 ≈ 500   k P a

Mas a gente sabe que por exemplo, para o tubo 1 teríamos que sua queda de pressão é igual a perda de carga causada pelo escoamento do fluido, ou seja:

Δ p ρ g = f 1 L 1 D 1 V 1 2 2 g = 950000 - 500000 998 9,81 = 45,96   m

Beleza, vamos fazer algo aqui já pra adiantar nossas vidas, vamos substituir já a velocidade pela vazão, beleza?

Lembrando que a velocidade pode ser substituída pela vazão pois temos que:

V = Q A = 4 Q π D 2

45,96 = f 1   L 1 Q 1 2 π 2 g D 1 5 → 45,96 = 1,135   x   10 6   f 1 Q 1 2

Vamos chutar um valor de f 1 ≈ 0,02 , isso resultará em um valor de Q 1 = 0,045   m 3 / s

O qual podemos calcular o valor de R e 1 = 4 ρ Q 1 π D 1 μ = 715000 !

Note que agora com esse novo valor de Re e com o valor da rugosidade relativa, podemos calcular os novos valores de f no diagrama de Moody, certo? Isso é um cálculo iterativo:

  1. Chute P a
  2. Chute f 1
  3. Calcule Q 1
  4. Calcule Re1
  5. Encontre o novo valor de f no diagrama de Moody
  6. Volte ao passo 3 até convergência

Para nosso tubo 1, a convergência ocorreu quando f 1 = 0,027 e, portanto, Q 1 = 0,0388   m 3 / s

Passo 3

Note que vamos ter que fazer a mesma metodologia para o tubo 2, 3 e 4 , certo? Ao final você obterá que a convergência vai te dar os seguintes valores de vazão:

Q 2 = - 0,0223   m 3 / s

Q 3 = 0,0241   m 3 / s

Q 4 = - 0,0365   m 3 / s

Ao se somar todas as vazões na junção, devemos obter um valor muito próximo de zero:

∑ Q = 0,00403   m 3 / s

Ou seja, o valor “próximo” de zero quem determina é você ou a questão hehe

Por exemplo, se eu chutasse um valor de P a = 530   k P a , teríamos ao final um valor líquido de vazão na junta igual a -0,00296 m³/s e assim por diante.

Passo 4

Ao final, vamos tentar fazer com P a = 517   k P a e seguindo a mesma metodologia de iteração abaixo:

  1. Chute P a
  2. Chute f 1
  3. Calcule Q 1
  4. Calcule Re1
  5. Encontre o novo valor de f no diagrama de Moody
  6. Volte ao passo 3 até convergência

Vamos encontrar que:

Q 1 = 0,038   m 3 / s

Q 2 = - 0,0236   m 3 / s

Q 3 = 0,0229   m 3 / s

Q 4 = - 0,0373   m 3 / s  

Note que se você tivesse parado lá no primeiro chute que fizemos os valores de vazão estariam já muito próximos...Então novamente digo que o “quão próximo de zero” deve ser seu saldo líquido está associado ao seu critério ou o dado pelo enunciado.

Resposta

Q 1 = 0,038   m 3 / s

Q 2 = - 0,0236   m 3 / s

Q 3 = 0,0229   m 3 / s

Q 4 = - 0,0373   m 3 / s  

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