Enunciado

Um fluido criogênico escoa por um tubo com 20 mm de diâmetro, cuja superfície externa é difusa e cinza, com uma emissividade de 0,02 e uma temperatura de 77 K. Esse tubo é concêntrico a um tubo maior, com 50 mm de diâmetro, cuja superfície interna é difusa e cinza, com uma emissividade de 0,05 e uma temperatura de 300 K. Há vácuo no espaço entre as superfícies. Determine o calor ganho pelo fluido criogênico, por unidade de comprimento do tubo interno. Se uma barreira de radiação com parede delgada, difusa e cinza, com emissividade de 0,02 (os dois lados), for inserida no meio da distância entre as superfícies interna e externa, calcule a variação (percentual) no ganho de calor, por unidade de comprimento do tubo interno.

Passo 1

Vamos lá!! O Temos duas situações, na primeira não temos barreira e na segunda temos!

O enunciado é bem direto, ele quer saber quanto de calor chega no fluido criogênico por unidade de comprimento, ou seja na superfície do tubo interno!, para as duas situações e depois a gente variação no ganho de calor!

Vamos pegar tudo que o enunciado disse e fazer um esqueminha:

Montando um esqueminha das resistências, temos:

Escrevendo, ficamos com:

R = 1 - ε o ε o A o + 1 A i F i o + 1 - ε i ε 1   A i

O calor que chega no tubo interno é o calor que sai do tubo externo, certo?

- q o = q o i

Mas a gente quer o calor por unidade de comprimento:

- q o ' = q o i L

Passo 2

Vamos colocar a mão na massa então:

q o i L = E b o - E b i R = σ T o 4 - T i 4 R

Substituindo R :

q o i = L × σ T o 4 - T i 4 1 - ε o ε o A o + 1 A i F i o + 1 - ε i ε 1   A i

Mas A = π D L , como L é igual pra todo mundo, então podemos isolar ele:

q o i = L × σ T o 4 - T i 4 L 1 - ε o ε o π D o + 1 π D i F i o + 1 - ε i ε 1   π D i

Cortando o L :

q o i = σ T o 4 - T i 4 1 - ε o ε o π D o + 1 π D i F i o + 1 - ε i ε 1   π D i

Se F i o = 1 e σ = 5,67 × 10 - 8 W / m 2 K 4 :

q o i = 5,67 × 10 - 8 300 4 - 77 4 1 - 0,02 0,02 × π × 0,02 + 1 π 0,02 + 1 - 0,05 0,05 ×   π 0,050 = 0,501   W / m

Achamos o calor ganho pelo fluido criogênico:

- q i = 0,501   W / m

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa, só que dessa vez tem uma barreira entre os tubos:

Vamos montar a resistência já cortando o L , beleza?

Escrevendo, ficamos com:

R = 1 - ε i ε 1   π D i + 1 π D i F i o + 1 - ε b π D b ε b + 1 - ε b π D b ε b + 1 π D b F b o + 1 - ε o ε o π D o

Podemos calcular q o i :

q o i = σ T o 4 - T i 4 1 - ε i ε 1   π D i + 1 π D i F i o + 1 - ε b π D b ε b + 1 - ε b π D b ε b + 1 π D b F b o + 1 - ε o ε o π D o

Substituindo:

q o i = 5,67 × 10 - 8 300 4 - 77 4 1 - 0,02 0,02 × π × 0,02 + 1 π × 0,02 + 1 - 0,02 π × 0,035 × 0,02 + 1 - 0,02 π × 0,035 × 0,02 + 1 π × 0,035 + 1 - 0,05 0,05 ×   π 0,050

Calculando:

q 0 i = - q i = 0,251   W / m

Passo 4

Agora só falta calcular a variação em porcentagem!!!

Para isso fazemos:

% q i ' = q i ' f - q i ' i q i ' i × 100 %

Substituindo:

% q i ' = - 0,251 - ( - 0,501 ) - 0,501 × 100 %

% q i ' = - 50 %

Uhuuuuul!!!

Resposta

q i = 0,501   W / m

q i = 0,251   W / m

% q i ' = - 50 %

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