Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Um fluido escoa em condições tais que sua massa específica ρ é função somente do tempo. Sendo o campo de velocidades v x = 4 x ; v y = - 2 y , determinar:

  1. A expressão de ρ ( t ) para que o escoamento seja possível;
  2. A equação das linhas de corrente

Passo 1

Item A)

Vamos aplicar a equação da continuidade

d ρ d t + ρ ⋅ d i v   v → = 0

d ρ d t + ρ ⋅ ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y = 0

Isolando os termos:

d ρ d t = - ρ ⋅ ∂ ( 4 x ) ∂ x + ∂ ( - 2 y ) ∂ y

Aplicando as derivadas parciais:

d ρ ρ = - 4 - 2 d t

E agora integramos:

∫ d ρ ρ = ∫ - 2 d t

ln ⁡ ρ = - 2 t + k

ρ = e - 2 t + k

ρ = e - 2 t ⋅ e k

Chegamos numa equação final para a densidade:

ρ = K e - 2 t

Passo 2

Item B)

A linha de corrente é dada na forma:

d x v x = d y v y

Substituindo o valor das velocidades: d x 4 x = d y - 2 y

Integrando

∫ d x 2 x = - ∫ d y y

1 2 ln ⁡ x = - ln ⁡ y + c 1

Fazemos um poncho de álgebra:

ln ⁡ x = - 2 ln ⁡ y + c 2

ln ⁡ x = ln ⁡ y - 2 + c 2

x = e ln ⁡ y - 2 + c 2

x = e ln ⁡ y - 2 e c 2

A linha de corrente é:

x = C y - 2

Resposta

  1. ρ = K e - 2 t
  2. x = C y - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camada-l
Dada as componentes das velocidades de dois escoamentos de fluidos inc
Sendo v x = x 2 + z 2 + 5 ; v y = y 2 + z 2 , determinar a forma mais
O movimento de fluido incompressível de peso desprezível realiza-se se
No funil da figura, escoa um líquido com o campo de velocidades v → =