Lista de Exercícios Resolvidos de Equação da Continuidade

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As coordenadas polares esféricas (r, θ, ϕ) são definidas na figura. As transformações cartesianas são

x = r   s e n   θ cos ⁡ ϕ

y = r   s e n   θ sen ⁡ ϕ

z = r   c o s   θ

A relação da continuidade cartesiana incompressível (Equação 1) pode ser transformada na forma polar esférica (Equação 2)

Equação 1

∂ u ∂ x +   ∂ v ∂ y +   ∂ w ∂ z = 0

Equação 2

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r + 1 r s e n θ ∂ ∂ θ v θ s e n   θ +   1 r s e n θ ∂ ∂ ϕ v ϕ = 0  

Qual é a forma mais geral de v r quando o escoamento é puramente radial, isto é v θ e v ϕ são nulas?

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Um escoamento idealizado incompressível tem a distribuição tridimensional de velocidade proposta:

V = 4 x y 2 i +   f y j - z y ² k  

Encontre a forma apropriada da função f ( y )   que satisfaz a relação da continuidade

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Considere o seguinte campo de velocidade bidimensional para um escoamento permanente e incompressível:

V = x 2 y i -   x y 2 j

Essa distribuição de velocidade satisfaz a equação da continuidade? Esse escoamento é possível?

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Um campo de escoamento incompressível tem os componentes cilíndricos v θ = C r , v z = K R 2 - r 2 , v r = 0 , em que C e K são constantes e r ≤ R , z ≤ L . Esse escoamento satisfaz a continuidade? O que ele pode representar fisicamente?

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Um pistão comprime gás em um cilindro movendo-se a uma velocidade constante V, como na figura:

Admita que a massa específica do gás e a posição do pistão em t = 0 sejam ρ 0 e L 0 , respectivamente. Considere que a velocidade do gás varie linearmente de u = V na face do pistão até u = 0 em x   = L . Se a massa específica do gás varia apenas com o tempo, encontre uma expressão para ρ ( t ) .

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Um caso muito comum na mecânica dos fluidos é o caso permanente e incompressível.

Deduza a expressão da Equação da Continuidade para o caso permanente, ou seja, sem variações no tempo, e incompressível, onde ρ é constante.

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Uma aproximação razoável para a camada-limite laminar incompressível bidimensional sobre a superfície plana da figura é

u = U 2 y δ -   y ² δ ²   p a r a   y   ≤   δ   e m   q u e   δ = C x 1 / 2 ,   C = c o n s t a n t e

( a )   Admitindo uma condição de não escorregamento na parede, encontre uma expressão para o componente de velocidade v x , y para y   ≤   δ .

( b ) Depois encontre o valor máximo de v em x = 1   m , para o caso particular do escoamento de ar, quando U = 3   m / s e δ = 1,1   c m .

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Um campo de velocidade bidimensional é dado por

u = - K y x 2 + y 2

v =   K x x 2 + y 2

Em que K é constante. Esse campo satisfaz a continuidade incompressível? Transforme essas velocidades em componentes polares v r e v θ . O que esse escoamento pode representar?

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