Enunciado

Um foguete de “construção caseira”, a combustível sólido, tem uma massa inicial de 9   k g ; 6,8   k g são de combustível. O foguete é lançado verticalmente para cima a partir do repouso, queimo combustível a uma taxa constante de 0,225   k g / s e expele os gases de combustão a uma velocidade de 1980   m / s em relação ao foguete. Considere que a pressão na saída seja atmosférica e que a resistência do ar possa ser desprezada. Calcule a velocidade do foguete e a distância percorrida por ele 20   s após o lançamento. Trace o gráfico da velocidade do foguete e a distância percorrida como funções do tempo.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema y , temos:

F S y + F B y - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não há resistência, então, F S y = 0 :

F B y - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F B y - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Então:

- m g - a r y ⋅ m = - v e ⋅ m ˙

a r y = v e ⋅ m ˙ m - g

Passo 3

Como a r y = d u d t e m = m 0 - m ˙ t :

d u d t =   v e ⋅ m ˙ m - g = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t - g

Assim:

d u = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t - g   d t

∫ 0 u d u = v e ⋅ m ˙ ∫ 0 t 1 m 0 - m ˙ t - g d t

Integrando:

u = v e ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t - g t

Passo 4

Calculando a velocidade do foguete 20   s após o lançamento.

Sendo:

g = 9,8   m / s 2   ;

v e = 1980   m / s ;

m 0 = 9   k g ;

m ˙ = 0,225   k g / s .

Então:

u = 1980 ⋅ ln ⁡ 9 9 - 0,225 ⋅ 20 - 9,8 ⋅ 20 = 1176,4   m / s  

Passo 5

Como u = d y d t , temos:

d y d t = v e ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t - g t

d y = v e ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t - g t d t

∫ 0 y d y = ∫ 0 t v e ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t - g t d t

Integrando com auxílio de programas matemáticos:

y = v e ⋅ m 0 m ˙ 1 - m ˙ t m 0 ln ⁡ 1 - m ˙ t m 0 - 1 + 1 - g t 2 2

Passo 6

Calculando a distância percorrida pelo foguete 20   s após o lançamento.

y = 1980 ⋅ 9 0,225 1 - 0,225 ⋅ 20 9 ln ⁡ 1 - 0,225 ⋅ 20 9 - 1 + 1 - 9,8 ⋅ 20 2 2 = 10191,4   m

Passo 7

Traçando o gráfico da velocidade do foguete e da distância percorrida como funções do tempo.

Resposta

u = 1176,4   m / s  

y = 10191,4   m

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