Enunciado

Um trenó-foguete, com massa inicial de 900   k g deve ser acelerado em uma pista nivelada. O motor do foguete queima combustível a uma taxa constante m ˙ = 13,5   k g / s . Os gases de combustão saem do bocal do foguete à pressão atmosférica, em um fluxo uniforme e axial, e com velocidade de 2750   m / s em relação ao bocal. Determine a massa mínima de combustível necessária para propelir o trenó a uma velocidade de 265   m / s antes que o foguete apague. Como primeira aproximação, despreze forças de resistências.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não a resistência nem força de campo, então, F S x = F B x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- a r x ⋅ m = v e ⋅ m ˙

Passo 3

Como - a r x = - d u d t ( m 0 - m ˙ t ) :

d u d t =   v e ⋅ m ˙ m = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t

Assim:

d u = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t d t

∫ 0 u d u = v e ⋅ m ˙ ∫ 0 t 1 m 0 - m ˙ t d t

Integrando:

u = v e ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t = - v e ln ⁡ 1 - m ˙ t m 0

m ˙ t = m 0 1 - e - u v e

Assim, temos que a massa é dada:

m = m ˙ t = m 0 ⋅ 1 - e - u v e

Passo 4

Sendo:

u = 265   m / s   ;

m 0 = 900   k g ;

v e = 2750   m / s .

Então:

m = 265 ⋅ 1 - e - 265 2750 = 82,68   k g

Resposta

m = 82,68   k g

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