Enunciado

For gases that undergo large changes in height, the linear

approximation, Eq. (2.14), is inaccurate. Expand the troposphere power-law, Eq. (2.20), into a power series, and

show that the linear approximation p

δz !

2T0

(n 2 1)B

where n 5

g

RB

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A pressão padrão para gases é dada por,

p = p a 1 - B z T 0 g / R B

Substitua n por g R B na equação

A expansão em série de potências de 1 - B z T 0 n é,

1 - B z T 0 n   = 1 - n B z T 0 + n ( n - 1 ) 2 ! B z T 0 2 - …   = 1 - n B z T 0 1 - ( n - 1 ) 2 ! B z T 0 - …

A equação torna-se,

p = p a 1 - n B z T 0 1 - ( n - 1 ) 2 ! B z T 0 - … p = p a - n p a B z T 0 1 - ( n - 1 ) 2 ! B z T 0 - …

Passo 2

Substitua g R B por n ,

n p a B z T 0   = g R B p a B z T 0   = p a R T 0 g z   = ρ a g z

Das equações,

p = p a - ρ a g z 1 - ( n - 1 ) 2 B z T 0 - …

Para a aproximação linear, o segundo termo deve ser muito menor do que unidade.

( n - 1 ) 2 B z T 0 ≪ < 1

Neste caso, se z ≠ 0 então nós substituímos z por δ z .

Agora, a relação acima se torna,

( n - 1 ) 2 B δ z T 0 = 1 δ z = 2 T 0 ( n - 1 ) B

Passo 3

Quando, a ( n - 1 ) 2 B δ z T 0 = 1 relação é verdadeira, a equação se torna,

p = p a - ρ a g z 1 - ( n - 1 ) 2 B z T 0 - … p ≈ p a - ρ a g z

Portanto, quando δ z = 2 T 0 ( n - 1 ) B , então a aproximação da linear p ≈ p a - ρ a g z é adequada.

Resposta

δ z = 2 T 0 ( n - 1 ) B

Exercícios de Livros Relacionados

Considere uma mulher que pese 70 kg e que tenha uma área total de pegadas de 400c m 3 . Ela deseja caminhar sobre a neve, mas a neve não suporta pressões acima de 0,5k P a . Determine o tamanho mínimo
A leitura da pressão absoluta da água a uma profundidade de 5 m é 145 kPa. Determine:a pressão atmosférica local a pressão absoluta a uma profundidade de 5 m em um líquido cuja gravidade específica é
O macaco hidráulico de uma oficina de automóveis tem um diâmetro de saída de 30 cm e deve elevar carros com até 2.000 kg. Determine a pressão manométrica do fluido que deve ser mantida no reservatório
A pressão frequentemente é dada em termos de uma coluna e é expressa como “carga de pressão”. Expresse a pressão atmosférica padrão em termos de colunas de (a) mercúrio (GE=13,6), (b) água (GE = 1,0)
Repita o problema 3-31 substituindo o ar por óleo cuja gravidade específica é de 0,72.