Enunciado

Um frasco cônico contém água até uma altura H = 36,8   m m , no qual o diâmetro do vaso é D = 29,4   m m . A água é drenada do frasco através de um orifício circular de bordas lisas e diâmetro d = 7,35   m m no vértice do cone. A velocidade da água na saída do orifício é dada, aproximadamente, por V = 2 g h , em que y é a distância vertical da superfície livre do líquido até o orifício. Uma corrente de água entra pelo topo do frasco com uma vazão volumétrica constante, Q = 3,75 × 10 – 7   m 3 / h . Determine a vazão em volume no fundo do vaso. Avalie a taxa de variação do nível da superfície livre no vaso e o seu sinal nesse instante.

Passo 1

Nos foi dado no enunciado que:

H = 36,8   m m = 0,0368   m

D = 29,4   m m = 0,0 294   m

d = 7,35   m m = 0,00 735   m

V 0 = 2 g h

Q t o p = 3,75 × 10 – 7   m 3 / h = 1,042 5 × 10 - 10   m 3 / s

g = 9,8   m / s 2

Podemos fazer as seguintes considerações:

Fluxo uniforme

Fluxo incompressível

Passo 2

Podemos fazer um esboço do volume de controle da seguinte maneira

Onde o volume de controle é referido como o tracejado pontilhado.

Passo 3

Podemos calcular a vazão com a seguinte relação:

Q 0 = V 0 A 0

Q 0 = π d 2 4 2 g H

Aqui,  d é o diâmetro do furo arredondado,  H é a altura da água e  g é a aceleração devido à gravidade. Agora, substituímos pelos valores fornecidos no enunciado.

Q 0 = π 0,00735   m   2 4 2 9,8 m s 2 0,0368   m

Q 0 = 3,603 × 10 - 5   m 3 / s

Passo 4

Podemos aplicar a equação da continuidade no volume de controle desenhado. Assim temos:

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

∂ ∂ t ρ ∀ + ρ V 0 A 0 - ρ V t o p A t o p = 0

ρ ∂ ∀ ∂ t = ρ - V 0 A 0 + V t o p A t o p

∂ ∀ ∂ t = V t o p A t o p - V 0 A 0

Temos que a vazão pode ser escrita como:

Q = V A

Substituindo na equação temos:

∂ ∀ ∂ t = Q t o p - Q 0

Podemos nos referir ao volume do cone como:

∀ = π 3 r 2 y

Onde r é o raio do cone e y representa a altura.

Podemos também representar o raio r em função da altura y da seguinte maneira:

r = y tan ⁡ θ

Assim temos que o volume fica da seguinte forma:

∀ = π 3 y tan ⁡ θ 2 y

∀ = π 3 y 3 tan 2 ⁡ θ

Podemos diferenciar dos dois lados.

∂ ∂ t ∀ = ∂ ∂ t π 3 y 3 tan 2 ⁡ θ

∂ ∀ ∂ t = π 3 3 y 2 tan 2 ⁡ θ d y d t  

Como sabemos que r = y tan ⁡ θ :

∂ ∀ ∂ t = π r 2 d y d t

Agora podemos substituir ∂ ∀ ∂ t na equação. Assim temos:

∂ ∀ ∂ t = Q t o p - Q 0

π r 2 d y d t = Q t o p - Q 0

d y d t = Q t o p - Q 0 π r 2

Podemos escrever a equação acima substituindo r por D .

d y d t = 4 π D 2 Q t o p - Q 0

Passo 5

Podemos calcular a taxa de variação do nível da superfície substituindo os valores fornecidos no enunciado na equação encontrada no passo anterior.

d y d t = 4 π D 2 Q t o p - Q 0

Aqui  D é o diâmetro do cone e  Q t o p é a vazão volumétrica da água que entra pelo topo do frasco, Q 0 é a vazão em volume no fundo do vaso. Substituindo   0,0294   m por  D ,   1,042 5 × 10 - 10   m 3 / s por  Q t o p e 3,603 × 10 - 5   m 3 / s por Q 0 .

d y d t = 4 π 0,0294   m     2   1,042 5 × 10 - 10   m 3 / s - 3,603 × 10 - 5   m 3 / s

d y d t = - 0,0531   m / s

Portanto, a taxa de variação da superfície da água no balão é  - 0,0531   m / s . Como a taxa é negativa, podemos perceber que o nível esta diminuindo.

Resposta

Q 0 = 3,603 × 10 - 5   m 3 / s

d y d t = - 0,0531   m / s

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