Enunciado

Uma fresta estreita entre duas placas circulares está inicialmente preenchida com líquido incompressível. Em t = 0 , a placa superior, inicialmente distate h 0 da placa inferior, começa a mover-se para baixo, de encontro a placa inferior, com velocidade constante, V 0 , provocando a expulsão do líquido através da fresta. Desprezando efeitos viscosos e considerando escoamento uniforme na direção radial, desenvolva uma expressão para o campo de velocidade entre as placas paralelas. Sugestão: Aplique a equação da conservação de massa a um volume de controle com superfície externa localizada no raio r . Note que o escoamento não é permanente, embora a velocidade da placa superior seja constante. Para V 0 = 0,01   m / s e h 0 = 2   m m , encontre a velocidade no raio de saída R = 100   m m em t = 0 e t = 0,1   s . Trace o gráfico da velocidade de saída em função do tempo, e explique a tendência.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício ilustrando o problema e desenhando o volume de controle conforme pedido no enunciado:

Vamos começar esse exercício aplicando o princípio da continuidade para o sistema, nesse caso, teremos:

0 = ∂ ∂ t ∫ V C   ρ d V + ∫ S C   ρ V → . d A →

Então, nesse caso, aplicando para o volume de controle desenhado, temos:

0 = ρ ∂ V v o l ∂ t + ρ V A

Nesse caso, sabemos que o volume pode ser escrito como:

V v o l = π r 2 h

E a área da seção será:

A = 2 π r h

Então a equação de cima se torna:

ρ π r 2 . d h d t + ρ V 2 π r h = 0 → r . d h d t + 2 V h = 0

Passo 2

No entanto, a variação altura h ( t ) pode ser escrita em função da velocidade de aproximação V 0 do disco superior, então, temos:

d h d t = V 0

Dessa forma, a equação se torna:

r V 0 + 2 V h = 0 → V = r V 0 2 h

Só que, como V 0 é constante, então, podemos escrever a altura h como:

h t = h 0 - V 0 t

Então, substituindo essa expressão na equação anterior, temos:

V = r V 0 2 ( h 0 - V 0 t )

Passo 3

Beleza, agora vamos ecnontrar a velocidade no raio de saída r = R = 100   m m em t = 0 e t = 0,1   s , então, temos:

V R , t = 0 = R V 0 2 ( h 0 ) = 0,1 0,01 2 ( 0,002 ) → V R , t = 0 = 0,25   m / s

V R , t = 0,1   s = R V 0 2 ( h 0 - 0,1 V 0 ) = 0,1 0,01 2 ( 0,002 - 0,1 ( 0,01 ) ) → V R , t = 0,1   s = 0,5   m / s

Passo 4

E o gráfico da velocidade de saída em função do tempo será:

A velocidade vai aumentando com o tempo porque o espaço que o fluido tem para escoar vai ficando cada vez menor com a aproximação do disco superior, que vai pressionando o fluido para fora.

Resposta

V R , t = 0 = 0,25   m / s

V R , t = 0,1   s = 0,5   m / s

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