Enunciado

No antigo Egito, vasos circulares cheios de água eram por vezes utilizados como relógios primitivos. Os vasos tinham um formato tal que, à medida que a água drenava pelo fundo, o nível da superfície descia a uma taxa constante, s . Considere que a água drene por um pequeno orifício de área A . Determine uma expressão para o raio do vaso, r , como função do nível de água, h . Obtenha uma expressão para o volume de água necessário para que o relógio funcione por n horas.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício ilustrando o relógio egípcio e desenhando nosso volume de controle:

Vamos começar esse exercício aplicando o princípio da continuidade para o sistema, nesse caso, teremos:

0 = ∂ ∂ t ∫ V C   ρ d V + ∫ S C   ρ V → . d A →

Então, nesse caso, teremos ar entrando na superfície 1 e água saindo na superfície 2, então a equação se torna:

0 = ∂ ∂ t ∫ V a r   ρ a r d V + ∂ ∂ t ∫ V á g u a   ρ á g u a d V + - ρ a r V 1 A 1 + ρ á g u a V 2 A 2

Só que, como nós sabemos que ρ a r = 1,23   k g / m 3 e que ρ á g u a = 998   k g / m 3 , podemos simplificar os termos referentes ao ar na equação acima, pois eles serão desprezíveis perto daqueles da água, então, a equação se torna:

0 = ∂ ∂ t ∫ V á g u a   ρ á g u a d V + ρ á g u a V 2 A 2 → ρ d V d t + ρ V A = 0

Sabemos que a variação de volume do reservatório é dado em função da velocidade de descida s , que por sua vez, é dada por:

s = - d h d t → d h = - s d t

E a variação de volume é dada por:

d V = π r 2 d h

Então, substituindo o valor de d h , temos:

d V = π r 2 - s d t → d V d t = - π r 2 s

Agora vamos substituir o valor da expressão para d V / d t na equação da continuidade, então, temos:

ρ d V d t + ρ V A = 0 → ρ - π r 2 s + ρ V A = 0

π r 2 s = V A → r = V A π s

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície superior do reservatório e o orifício de saída, então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Tá legal, como ambos os pontos 1 e 2 estão expostos ao ambiente, temos p 1 = p 2 = p a t m e os termos de pressão se cancelam. Sabemos também que v 1 ≅ 0 e que v 2 = V . Considerando o nível z 2 = 0 , então, temos z 1 = h , dessa forma, a equação de Bernoulli se torna:

g h = V 2 2 → V = 2 g h

Então, agora, vamos substituir a expressão encontrada para V na expressão para r encontrada no passo 1, então, temos:

r = V A π s → r = 2 g h A π s

Passo 3

Agora para encontrar uma expressão para o volume de água necessário para que o relógio funcione por n horas, vamos começar encontrando o nível para n horas de operação, que será dado pela velocidade s vezes o tempo n , então, temos:

H = n s

Dessa forma, o volume total será:

V o l u m e = ∫ 0 H π r 2 d h

Substituindo a expressão para H no limite de integração e a expressão encontrada para π r 2 no passo 1, temos:

V o l u m e = ∫ 0 n s V A s d h

Substituindo a expressão encontrada no passo 2 para a velocide de saída, temos:

V o l u m e = ∫ 0 n s 2 g h . A s d h

Resolvendo a integral, temos:

V o l u m e = 2 2 g A 3 s h 3 2 0 n s

Substituindo os limites de integração, obtemos a relação desejada para o volume:

V o l u m e = 2 2 g A 3 s n s 3 2 → V o l u m e = 2 2 g A 3 n 3 2 s 1 2

Resposta

r = 2 g h A π s

V o l u m e = 2 2 g A 3 n 3 2 s 1 2

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