Enunciado

A função representativa de um certo fenômeno é f ρ ; μ ; v ; F ; c ; L = 0 . Onde c = velocidade do som e L é o comprimento característico qualquer. Como no laboratório os ensaios são realizados com baixas velocidades, supões-se desprezível o efeito da compressibilidade do fluido. Dados:

- para o modelo: ρ m = 1440   k g / m 3 ; F m = 1280   N ;

- para o protótipo: ρ P = 1000   k g / m 3 ; F P = 2000   N .

Determinar a escala das viscosidades dinâmicas.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para avaliar a escala, devemos primeiro avaliar as variáveis do sistema. Vamos supor que a velocidade do som se mantenha em ambos os sistemas e que o comprimento característico não influencia na viscosidade visto que esta é uma característica do meio e não da geometria.

Teremos então que:

f ρ , μ , v , F = 0

As dimensões de cada variável, são:

ρ = F L - 4 T 2

μ = F L - 2 T

v = L T - 1

F = F

Passo 2

Para a construção do adimensional:

π = μ a 1 F a 2 L a 3 ρ

π = μ 0 F 0 L 0 ρ 0

Logo:

F 0 L 0 T 0 = F L - 2 T a 1 + F a 2 + L a 3 + F L - 4 T 2

F 0 L 0 T 0 = F a 1 + a 2 + 1 L - 2 a 1 + a 3 - 4 T a 1 + 2

A equação adimensional nos leva ao sistema linear:

a 1 + a 2 + 1 = 0

- 2 a 1 + a 3 - 4 = 0

a 1 + 2 = 0

Cujas soluções são:

a 1 = - 2

a 2 = 1

a 3 = 0

Portanto:

π = μ - 2 F ρ

Passo 3

Como deve haver uma equivalência em ambos os sistemas, temos que:

π m = π P

F m ρ m μ m 2 = F P ρ P μ P 2

Ou seja:

μ m μ P 2 = F m ρ m F P ρ P

K μ 2 = 1280 ⋅ 1440 2000 ⋅ 1000

A escala de viscosidades dinâmicas será:

K μ = 0,96

Resposta

K μ = 0,96

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