Lista de Exercícios Resolvidos de Teorema Pi

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Expresse as dimensões das variáveis massa específica ρ e densidade relativa d em função das dimensões básicas.

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A perda de carga h p é uma variável muito importante no estudo de escoamento em dutos. No Sistema Internacional, a perda de carga é medida em metros. Sua fórmula é:

h p = f   L   D V 2   2 g

Onde L é o comprimento do tubo, D é o diâmetro do mesmo, V é a velocidade média do fluido, g é a gravidade e f é o fator de atrito. (a) Expresse as dimensões das variáveis L ,   D ,   V ,   g   e   h p   (b) Qual a dimensão do fator de atrito? (c) Existe algum grupo pi na equação? Qual(is)?

OBS: o número 2 no denominador é adimensional.

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Um pêndulo tem um período de oscilação T que é considerado dependente do seu comprimento L , da massa m , do ângulo de balanço θ e da aceleração da gravidade g . Um pêndulo de 1 m de comprimento, com uma massa de 200 g, é testado sobre a Terra, determinando-se um período de 2,04 s para uma oscilação de 20°. ( a ) Qual é o s eu período para uma oscilação de 45°? Um pêndulo semelhante, construído com L = 30   c m e m = 100   g , é posto para oscilar na Lua ( g = 1,62   m / s 2 ) com θ = 20 ° . ( b ) Qual será o seu período?

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A força de propulsão F de uma hélice geralmente é considerada uma função de seu diâmetro D e velocidade angular Ω , da velocidade V   de avanço, da massa específica ρ e da viscosidade μ do fluido. Reescreva essa relação como uma função adimensional.

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Em condições de escoamento laminar, a vazão volumétrica Q através de um pequeno orifício capilar de seção triangular de lado b e comprimento L é uma função de viscosidade μ , da queda de pressão por unidade de comprimento ∆ p / L e de b . Usando o Teorema Pi, reescreva essa relação em forma adimensional. Como varia a vazão volumétrica se o lado b for duplicado?

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Uma viga simplesmente apoiada de diâmetro D , comprimento L e módulo de elasticidade E é submetida a um escoamento transversal de fluido de velocidade V , massa específica ρ e viscosidade μ . A deflexão central δ é considerada uma função de todas essas variáveis. ( a ) Reescreva essa função proposta na forma adimensional. ( b ) Admita que se saiba que δ é independente de μ , inversamente proporcional a E e dependente somente de ρ V 2 , não de ρ e V separadamente. Simplifique a função adimensional adequadamente. Dica: considere L , ρ e V variáveis repetitivas.

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(Adaptada) Com uma boa aproximação, a condutividade térmica k de um gás depende apenas da massa específica ρ , do livre caminho médio l , da constante R do gás e da temperatura absoluta T . Encontre o(s) grupo(s) adimensionais.

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Ao estudar o transporte de areia pelas ondas oceânicas, A. Shields, em 1936, postulou que o limiar de tensão de cisalhamento τ induzida pelas ondas no fundo, requerida para mover partículas, depende da gravidade g , do tamanho d da partícula e da sua massa específica ρ p , da massa específica ρ e da viscosidade μ da água. Encontre grupos adimensionais adequados para esse problema, que em 1936 resultou no célebre diagrama de transporte de areia de Shields.

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