Enunciado

Um gás ideal escoa através de uma passagem que primeiro converge e, em seguida, diverge durante um processo de escoamento adiabático, reversível e estacionário. Para o escoamento subsônico na entrada, represente a variação da pressão, velocidade e o número de Mach, juntamente com o comprimento do bocal quando o número de Mach na área de escoamento mínimo for igual à unidade.

Passo 1

E aí! Tudo bem com você? Animado para fazer um exercício de escoamento de gás ideal em um bocal convergente-divergente?

O exercício quer saber como a pressão P , a velocidade V e o número de Mach M a de um gás variam ao longo de um bocal convergente-divergente, se M a = 1 na garganta do bocal. Além disso o enunciado informa que o escoamento é subsônico na entrada ( M a < 1 na entrada)!

Podemos separar essa questão em três partes.

  1. Na primeira parte, vamos entender como a velocidade V varia ao longo de um bocal convergente-divergente, quando M a = 1 na garganta e M a < 1 na entrada.
  2. A figura abaixo mostra as informações que temos e os dados que buscamos.

    Para descobrir como V varia, temos que usar a equação de conservação de massa e a equação da vazão mássica para o bocal.

    m ˙ = ρ ⋅ V ⋅ A = c o n s t a n t e   s e g u n d o   a   c o s e r v a ç ã o   d e   m a s s a

    onde m ˙ é a vazão mássica através do bocal, ρ é a densidade do fluido e A é a área do bocal pela qual o escoamento passa.

  3. Na segunda parte, vamos entender como a pressão P varia para a mesma situação.
  4. Para descobrir como P varia, temos que descobrir primeiro como a temperatura T varia através da equação que relaciona a velocidade V com a temperatura T (equação 12-4 do livro).

    T 0 = T + V 2 2 c p

    c p é o calor específico a pressão constante do gás e T 0 é a temperatura de estagnação do gás que é igual em todos os pontos do escoamento no bocal.

    Depois, usaremos a equação que relaciona a pressão P com a temperatura T (equação 12-5 do livro) para, enfim, descobrir como P varia no bocal.

    P 0 P = T 0 T k k - 1

    P 0 é a pressão de estagnação do gás que também é igual em todos os pontos do escoamento no bocal.

  5. Na terceira parte, descobriremos como o número de Mach M a varia para a mesma situação.

Fazemos isso, usando a equação de M a em função de V .

M a = V c

onde c é a velocidade do som do gás.

A velocidade do som de um gás ideal é calculada usando a equação 12-11 do livro.

c = k R T

onde k é a razão de calores específicos do gás ideal k = c p / c v e R é a constante do gás.

Passo 2

Nesse passo vamos resolver a primeira parte do problema, descobrindo como a velocidade V do fluido varia através do bocal convergente-divergente. Para isso nós vamos ter que usar a lei de conservação de massa duas vezes: uma para a parte convergente do bocal e outra para a parte divergente do bocal. A figura abaixo mostra termos importantes para usar a conservação de massa.

V 1 , V 2 e V 3 são as velocidades do fluido na entrada do bocal, na garganta do bocal e na saída do bocal respectivamente. A 1 , A 2 e A 3 são as áreas pela qual o fluido passa na entrada do bocal, na garganta do bocal e na saída do bocal respectivamente.

A lei de conservação de massa da parte convergente do bocal diz que a vazão mássica de na entrada do bocal m ˙ 1 deve ser igual à vazão mássica na garganta do bocal m ˙ 2 .

m ˙ 1 = m ˙ 2       ⟹       ρ 1 ⋅ V 1 ⋅ A 1 = ρ 2 ⋅ V 2 ⋅ A 2

Reorganizando a equação final acima, achamos uma expressão para a velocidade V 2 .

ρ 1 ⋅ V 1 ⋅ A 1 = ρ 2 ⋅ V 2 ⋅ A 2       ⟹       V 2 = ρ 1 ⋅ V 1 ⋅ A 1 ρ 2 ⋅ A 2

Como área de entrada do bocal A 1 é maior que a área da garganta A 2 , V 2 é maior que V 1 . Ou seja, na parte convergente do bocal, a velocidade do fluido aumenta!

A lei de conservação de massa da parte divergente do bocal diz que a vazão mássica de na garganta do bocal m ˙ 2 deve ser igual à vazão mássica na saída do bocal m ˙ 3 .

m ˙ 2 = m ˙ 3       ⟹       ρ 2 ⋅ V 2 ⋅ A 2 = ρ 3 ⋅ V 3 ⋅ A 3

Reorganizando a equação final acima, achamos uma expressão para a velocidade V 3 .

ρ 2 ⋅ V 2 ⋅ A 2 = ρ 3 ⋅ V 3 ⋅ A 3       ⟹       V 3 = ρ 2 ⋅ V 2 ⋅ A 2 ρ 3 ⋅ A 3

Como área da garganta do bocal A 2 é menor que a área de saída A 3 , podemos achar que o V 3 é menor que V 2 . No entanto, essa conclusão está errada! Ela não está levando em conta que o escoamento na parte divergente do bocal é supersônico. Quando o escoamento é supersônico na parte divergente, a densidade do fluido ρ diminui muito. Logo:

ρ 3 ≪ ρ 2

Isso faz com que a velocidade V 3 fique maior que a velocidade V 2 . Ou seja, na parte divergente do bocal supersônico, a velocidade do fluido também aumenta!

Passo 3

Nesse passo vamos resolver a segunda parte da questão, descobrindo como a pressão P varia através do bocal.

Para fazer isso, temos que descobrir como a temperatura T do fluido varia ao longo do bocal reorganizando a equação 12-4 do livro.

T 0 = T + V 2 2 c p       ⟹       T = T 0 - V 2 2 c p

T 0 é igual em todos os pontos do escoamento. Logo, T 0 é constante. Como a velocidade V do fluido aumenta ao longo de todo o bocal, vemos pela equação acima que T diminui ao longo de todo o bocal.

Para descobrir, enfim, como a pressão P do fluido varia, temos que reorganizar a equação 12-5 do livro.

P 0 P = T 0 T k k - 1       ⟹       P = P 0 ⋅ T T 0 k k - 1

P 0 é igual em todos os pontos do escoamento. Logo, P 0 é constante. Como T diminui ao longo de todo o bocal, a pressão P também diminui ao longo de todo o bocal.

Passo 4

Nesse passo vamos resolver a terceira e última parte da questão, descobrindo como o número de Mach M a varia através do bocal.

Fazemos isso, usando a equação de M a em função de V .

M a = V c

A velocidade do som de um gás ideal é calculada usando a equação 12-11 do livro.

c = k R T

Substituindo a expressão de c na equação de M a :

M a = V c     ⟹     M a = V k R T

Sabemos que a velocidade V do fluido aumenta ao longo de todo o bocal. Também sabemos que a temperatura T do fluido diminui ao longo de todo o bocal. Logo, o número de Mach M a aumenta ao longo de todo o bocal.

Resposta

A velocidade e o número de Mach do fluido aumentam ao longo de todo o bocal convergente-divergente. Já a pressão P do fluido diminui ao longo de todo o bocal.

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