Enunciado

Para que um gás ideal obtenha uma expressão para a relação entre a velocidade do som, na qual M a = 1 , e a velocidade do som com base na temperatura de estagnação c * / c 0 .

Passo 1

E aí, pessoal, estão bem? Estão com disposição para fazer um exercício sobre propriedades de estagnação e propriedades críticas de um gás ideal? Antes de começarmos, precisamos falar de um erro na tradução desse enunciado. A versão certa do enunciado é: “Para um gás ideal, obtenha uma expressão para a relação entre a velocidade do som, na qual M a = 1 , e a velocidade do som com base na temperatura de estagnação c * / c 0 .”

A questão quer saber quanto vale a razão c * / c 0 de um gás ideal. c * é a velocidade do som, quando o número de Mach do gás vale 1 M a * = 1 e c 0 é a velocidade do som, quando o número de Mach é levado a zero isentropicamente M a 0 = 0 .

As propriedades em M a * = 1 são chamadas de propriedades críticas.

M a * = 1       ⟹       T * T e m p e r a t u r a c r í t i c a               P * P r e s s ã o c r í t i c a               c * V e l o c i d a d e   d o   s o m c r í t i c a

As propriedades em M a 0 = 0 são as propriedades de estagnação.

M a 0 = 0       ⟹       T 0 T e m p e r a t u r a d e   e s t a g n a ç ã o               P 0 P r e s s ã o d e   e s t a g n a ç ã o               c 0 V e l o c i d a d e   d o   s o m d e   e s t a g n a ç ã o

Para calcular c * / c 0 temos que usar a equação da velocidade do som c (equação 12-11 do livro) e a equação da razão entre temperaturas T * / T 0 (equação 12-21 do livro).

c = k ⋅ R ⋅ T

T * T 0 = 2 k + 1

Passo 2

Se usarmos a equação da velocidade do som para calcular c * , ela vira:

c * = k ⋅ R ⋅ T *

Se usarmos a equação da velocidade do som para calcular c 0 , obtemos:

c 0 = k ⋅ R ⋅ T 0

Usando essas duas equações para achar c * / c 0 , chegamos em uma fórmula para c * / c 0 .

c * c 0 = k ⋅ R ⋅ T * k ⋅ R ⋅ T 0     ⟹       c * c 0 = T * T 0

Passo 3

Por fim, se substituirmos a expressão de T * T 0 na equação de c * c 0 , achamos uma nova equação para c * c 0 .

c * c 0 = T * T 0       ⟹       c * c 0 = 2 k + 1

Resposta

c * c 0 = 2 k + 1

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