Enunciado

Gases quentes saindo a 450 ℃ de um motor disel estacionário entram em um tubo de 15   c m de diâmetro com velocidade média de 7,2   m / s . A temperatura na superfície do tubo é 180 ℃ . Determine o comprimento do tubo considerando que os gases de escape devem sair do tubo a 250 ℃ após a transferência de calor para água na unidade de recuperação de calor. Use as propriedades do ar para os gases de escape.

Passo 1

Dados fornecidos:

Diâmetro do tubo: D = 15   c m = 0,15   m  

Temperatura de entrada de gás: T i = 450 ℃  

Temperatura de saída do gás: T e = 250 ℃

Temperatura da superfície do tubo: T s = 180 ℃  

Velocidade média de entrada: V m é d i a = 7,2   m / s  

Passo 2

Um diagrama esquemático do fluxo no tubo é o seguinte:

Passo 3

Precisamos calcular a temperatura média de filme para o ar com a seguinte relação:

T m é d i a = T e + T i 2

Aqui,  T i é a temperatura média de entrada e  T e é a temperatura média de saída. Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

T m é d i a = 250 ℃ + 450 ℃ 2

T m é d i a = 35 0 ℃

Com o valor da temperatura média, podemos obter as seguintes propriedades para o ar a  3 50 ℃ .

Densidade: ρ = 0,5664   k g / m 3  

Condutividade térmica: k = 0,04721   W / m ⋅ K  

Viscosidade cinemática: ν = 5,475 × 10 - 5   k g / m ⋅ s

Calor específico: c p = 1056   J / k g ⋅ K  

Número e Prandtl: P r = 0,6937

Passo 4

Vamos começar calculando o número de Reynolds. Assim temos:

R e = V m é d i a D ν

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

R e = 7,2   m / s × 0,15   m 5,475 × 10 - 5   k g / m ⋅ s

R e = 19726,03

Como o número de Reynolds é maior que  10.000 , temos que o fluxo é turbulento.

Passo 5

Aqui, vamos assumir que o fluxo é turbulento e totalmente desenvolvido. Assim, pela equação de Dittus – Boelter, podemos calcular o Número Nusselt. Assim temos:

N u = 0,023 R e 0,8 P r 0,3

Substituindo os termos da relação pelos dados fornecidos, temos:

N u = 0,023 19726,03 0,8 0,6937 0,3

N u = 55,63

Passo 6

Com o número de Nusselt, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

N u = h D k

h = N u k D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

h = 55,63 × 0,04721   W / m ⋅ K     0,15   m

h = 17,50   W / m 2 ⋅ K

Passo 7

Agora, vamos calcular a temperatura média logarítmica. Assim temos:

∆ T l m = T e - T I ln ⁡ T s - T e T s - T i

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

∆ T l m = 250 - 450 ln ⁡ 180 - 250 180 - 450

∆ T l m = 148,16 ℃

Passo 8

Temos que a área superficial do tubo pode ser dada da seguinte maneia:

A s = π D L

Podemos calcular a transferência de calor no tubo da seguinte maneira:

Q ˙ = h A s ∆ T l m

Substituindo a área superficial, temos:

Q ˙ = h π D L ∆ T l m

Assim a transferência de calor por metro de comprimento do tubo é:

Q ˙ L = h π D ∆ T l m

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

Q ˙ L = 17,50   W / m 2 ⋅ K × π × 0,15   m × 148,16 ℃

Q ˙ L = 1221,8   W / m

Passo 9

Agora, podemos calcular a transferência de calor total no tubo pela expressão:

Q ˙ t = m ˙ c p T i - T e

Onde a vazão mássica é m ˙ = ρ A c V m é d i a e A c = π D 2 / 4 . Substituindo na equação acima, temos:

Q ˙ t = π D 2 ρ V m é d i a 4 c p T i - T e

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

Q ˙ t = π × 0,15   m 2 × 0,5664   k g / m 3 × 7,2   m / s 4 × 1056   J / k g ⋅ K × 450 ℃ - 250 ℃

Q ˙ t = 15220,26   W

Passo 10

Portanto, podemos calcular o comprimento do tubo da seguinte maneira:

Q ˙ L = 1221,8   W / m

L = Q ˙ 1221,8   W / m

Como a transferência de calor tem que ser a mesma Q ˙ = Q ˙ t , temos que:

L = Q ˙ t 1221,8   W / m

L = 15220,26   W 1221,8   W / m

L = 12,31   m

Portanto, o comprimento do tubo é  12,31   m .

Resposta

L = 12,31   m

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