Enunciado

Água a 1.800   k g / h a 10 ℃ entra em um tubo liso de 10   m m de diâmetro cuja temperatura da parede é mantida a 49 ℃ . Calcule a o comprimento do tubo necessário para aquecer a água a 40 ℃ e b a temperatura de saída da água se o comprimento do tubo for duplicado. Pressuponha que as propriedades médias da água sejam as mesmas que em a .

Passo 1

Dados fornecidos:

Diâmetro do tubo: D = 10   m m = 0,0 1   m  

Temperatura da água de entrada: T i = 10 ℃  

Temperatura da água de saída: T e = 40 ℃  

Temperatura constante da parede do tubo: T s = 49 ℃  

Vazão mássica de água: m ˙ = 1.800   k g / h = 0,5   k g / s

Passo 2

Primeiro, temos que calcular a temperatura média para obter as propriedades da água. Assim temos:

T m é d i a = T e + T i 2

Aqui,  T i é a temperatura média de entrada e  T e é a temperatura média de saída. Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

T m é d i a = 40 ℃ + 10 ℃ 2

T m é d i a = 25 ℃

Com o valor da temperatura média, podemos obter as seguintes propriedades da água em  25 ℃ na Tab. A-9.

Condutividade térmica: k = 0,607   W / m ⋅ K  

Viscosidade dinâmica: μ = 0,891 × 10 - 3   k g / m ⋅ s

Calor específico: c p = 4180   J / k g ⋅ K  

Densidade da água: ρ = 997   k g / m 3  

Número e Prandtl: P r = 6,14

Passo 3

a) Temos que a área da seção transversal do tubo pode ser dada pela seguinte equação:

A c = π 4 D 2

Aqui, D é o diâmetro do tubo.

Podemos dizer também que a velocidade média da água é dada pela seguinte equação:

V m é d i a = m ˙ ρ A c

Aqui, m ˙ é a vazão mássica da água e ρ é a densidade da água. Substituindo a área da seção transversal, temos:

V m é d i a = 4 m ˙ ρ π D 2

Passo 4

Com a relação pra velocidade média da água encontrada, podemos calcular o número de Reynolds para o fluxo usando a seguinte ralação:

R e = ρ V m é d i a D μ

Aqui, μ é a viscosidade dinâmica da água. Substituindo a relação pra velocidade média da água, temos:

R e = 4 m ˙ ρ D ρ π D 2 μ

R e = 4 m ˙ π μ D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

R e = 4 × 0,5   k g / s π × 0,891 × 10 - 3   k g / m ⋅ s × 0,01   m  

R e = 71450,03

Como o número de Reynolds é maior que 10.000 , o fluxo é turbulento.

Passo 5

Podemos escrever a correlação do número Nusselt para um fluxo turbulento totalmente desenvolvido com superfícies lisas sedo a seguinte:

N u = 0,023 R e 0,8 P r 0,4

Substituindo os termos da relação pelos dados fornecidos e calculados, temos:

N u = 0,023 71450,03 0,8 6,14 0,4

N u = 363,24

Com o número de Nusselt, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção da seguinte maneira:

N u = h D k

h = N u k D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

h = 363,24 × 0,607   W / m ⋅ K 0,0 1   m  

h = 22048,84   W / m 2 ⋅ K

Passo 6

Podemos calcular a taxa de transferência de calor usando a seguinte equação:

Q ˙ = m ˙ c p T e - T i

Aqui, m ˙ é a vazão mássica da água, T e é a temperatura da água de saída, T i é a temperatura da água de entrada e c p é o calor específico. Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

Q ˙ = 0,5   k g / s × 4180   J / k g ⋅ K × 40 ℃ - 1 0 ℃

Q ˙ = 6 2 700   W

Passo 7

Agora, podemos calcular o comprimento do tubo usando a seguinte equação:

Q ˙ = h A s T s - T m é d i a

Aqui, A s é a área superficial dos tubos. Podemos substitui-lo por π D L em que n é o número de tubos, e L é o comprimento.

Q ˙ = h π D L T s - T m é d i a

Isolando o comprimento L , temos a seguinte relação:

L = Q ˙ π D h T s - T m é d i a

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

L = 62700   W π × 0,01   m × 22048,84   W / m 2 ⋅ K × 49 ℃ - 25 ℃

L = 3,77   m

Portanto, o comprimento do tubo necessário para realizar a tarefa é  3,77   m .

Passo 8

b) Podemos calcule a temperatura de saída da água se o comprimento do tubo for dobrado aplicando a equação do balanço energético. Assim temos:

m ˙ c p T e - T i = h π D L T s - T m é d i a

Substituindo a temperatura média, temos:

m ˙ c p T e - T i = π D L h T s - T e + T i 2

0,5 × 4180 × T e - 10 = π × 0,01 × 7,54   × 22048,84 × 49 - T e + 10 2

2090 T e - 20900 = 229900 - 2612,5 T e

4702,5 T e = 250800

T e = 53,33 ℃

Devido à pressuposição de que as propriedades médias da água sejam as mesmas que em a , o resultado obtido não faz muito sentido, pois a temperatura de saída não pode ser maior que a não que a da superfície do tubo. Assim, podemos pressupor que a temperatura de saída é bem próxima da temperatura da superfície do tubo.

Resposta

a) L = 3,77   m

b) T e ≅ 49 ℃

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