Enunciado

Grandes cargas podem ser movimentadas com relativa facilidade sobre colchões de ar com o emprego de uma plataforma de carga, conforme mostrado. O ar é suprido da câmara (ou pleno) através da superfície porosa AB. Ele penetra no espaço abaixo da plataforma verticalmente com velocidade uniforme, q. Neste espaço, todo o ar escoa no sentido positivo do x (não há escoamento através do plano em x = 0). Considere que o fluxo de ar na fresta é incompressível e uniforme em cada seção, com velocidade u(x), conforme mostrado na vista ampliada. Embora a fresta seja estreita (h L), despreze efeitos de atrito em primeira aproximação. Use um volume de controle adequadamente escolhido para mostrar que u(x) = qx/h na fresta. Calcule a aceleração de uma partícula fluida na fresta. Avalie o gradiente de pressão, ∂p/∂x, e esboce a distribuição de pressão através da fresta. Certifique-se de indicar a pressão em x = L.

Passo 1

Pessoal, vamos primeiro provar que   u ( x ) = q   x / h . Para isto iremos aplicar a equação da conservação de massa:

0 = ∂ ∂ t ∫ ρ d V +   ∫ ρ V → d A →

Como o liquido esta sendo espremido e saindo pelas laterais, haverá variação de massa no sistema. Uma vez que as placas são planas e considerando uma variação infinitesimal na altura, a equação será reduzida para:

0 = ∂ ∂ t ∫ 0 y ρ w x d y + ρ u w h

0 = ρ w x d y d t +   ρ u w h

Podemos observar pela figura que a variação de altura pela placa superior em função do tempo é –q. d y d t = - q

Substituindo:

0 = ρ w x ( - q ) +   ρ u w y

u = q x h

Passo 2

A equação da aceleração da partícula em x é dada pela equação:

a x = D u D t = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Considerando:

-fluido incompressível;

-regime permanente;

-fluxo constante por toda a seção;

-fluxo horizontal e;

-velocidade nula em z.

Podemos simplificar a expressão e ficamos com:

a x = u ∂ u ∂ x

a x = q x h ∂ q x h ∂ x

a x = q x h q h

a x = q 2 h 2 x

Passo 3

Para encontrar o gradiente de pressão, vamos usar a equação de Euler em x:

ρ a x = ρ g x - ∂ p ∂ x

Substituindo a x e sendo g x = 0 :

ρ q 2 h 2 x = - ∂ p ∂ x

∂ p ∂ x = - ρ q 2 h 2 x

Passo 4

A distribuição de pressão pode ser encontrada integrando a equação do gradiente:

d p = ∂ p ∂ x d x

Substituindo e integrando a equação, temos:

∫ p a t m p d p = - ρ q 2 h 2 ∫ 0 x x d x

p - p a t m = - ρ q 2 2 h 2 x 2

Esboçando o gráfico, temos:

Resposta

a x = q 2 h 2 x

∂ p ∂ x = - ρ q 2 h 2 x

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