Enunciado

Hoerner [Referência 12, p. 3-25] especifica que o coeficiente de arrasto de uma bandeira de razão de aspecto de 2:1 é 0,11, com base na área planificada. A Universidade de Rhode Island tem um mastro de alumínio de 25 m de altura e 14 cm de diâmetro. Esse mastro serve para hastear as bandeiras nacional e estadual niveladas em conjunto. Se a tensão de fratura do alumínio for 210 MPa, que tamanho máximo de bandeira poderá ser usado a fim de evitar a ruptura do mastro durante furacões (121 km/h)? (Despreze o arrasto do mastro.)

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos um mastro de alumínio com comprimento L = 25   m e diâmetro D = 0,14   m , com duas bandeiras hasteadas: a dos EUA e a de Rhode Island, como mostra a figura abaixo:

Como bem diz o enunciado da questão, as bandeiras têm uma razão de 2:1, e pra essa geometria seus coeficientes de arrasto são C A = 0,11 .

Pra uma fatura de σ =     210   M P a e uma velocidade V = 121 k m h = 33,6   m / s , a questão quer que a gente descubra o tamanho da bandeira. Faremos isso realizando um balanço de momento com as forças de arrasto para as duas bandeiras.

No próximo passo eu vou te mostrar como calcular a dimensão H da bandeira, então vem comigo pra gente resolver esse problema juntos!

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular o momento agindo nesse sistema. Pra isso, vamos considerar uma fórmula pra tensão de fatura do alumínio:

σ = M R π 4 R 4

Sendo R = 0,07   m o raio da barra e M o momento de fratura.

Calculando M , teremos:

210 × 10 6   P a = M ( 0,07   m ) π 4 0,07   m 4

M =   5,66 × 10 4   N ∙ m

Passo 3

Agora, iremos encontrar expressões pras forças de arrasto das duas bandeiras, F E U A e F R I , que são iguais.

Faremos:

F E U A = F R I   = C A ρ V 2 2 A

Sendo: ρ = 1,2   k g / m ³   a massa específica do ar e A = H × 2 H a área das bandeiras onde ocorre o escoamento.

Sendo assim, vamos ficar com:

F E U A = F R I   = 0,11 1,2 33,6 2 2 2 H ²

F E U A = F R I   = 149 H ²

Passo 4

Por fim, pra resolver a questão, devemos fazer um balanço de momento com relação à base do mastro.

Vamos entender que a linha de aplicação da força de arrasto em cada bandeira é diferente, por causa de sua posição no mastro.

O da bandeira dos EUA, por exemplo, está localizada L - H 2 da base do mastro, enquanto o da bandeira de Rhode Island econtra-se a L - 3 H 2 da base do mastro.

Assim, o momento de fratura pode ser dado por:

M = F E U A L - H 2 + F R I   L - 3 H 2  

Substituindo os valores que conhecemos:

5,66 × 10 4 = 149 H ² 25 - H 2 + 149 H ²   25 - 3 H 2  

Resolvendo essa equação cúbica pra H , teremos:

H = 2,91   m

Portanto, as dimensões das bandeiras são 2,91   m × 5,82   m .

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

As dimensões das bandeiras ideais par evitar a ruptura do mastro são 2,91   m × 5,82   m

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