Enunciado

Um jato d’água horizontal com velocidade constante V é imposto normalmente a uma placa plana vertical e se espalha nas laterais no plano vertical. A placa se move na direção da entrada do jato d’água com velocidade 1 2 V . Se uma força F é necessária para manter a placa fixa, quanta força é necessária para mover a placa na direção do jato d’água?

Passo 1

O enunciado quer saber quanto vale a força F ' necessária para aproximar a placa do bocal com uma velocidade V . Em outras palavras, temos que descobrir quanto vale F ' em função de F , sendo F é a força necessária para manter a placa parada. O primeiro passo para achar a fórmula de F ' é escolher qual é o volume de controle. Como o enunciado quer saber sobre a força F aplicada na placa, nós vamos supor que o volume de controle é a região do espaço que engloba a parte do jato colidindo com a placa e a placa. A figura abaixo mostra o volume de controle.

V é a velocidade do jato de água que atravessa o volume de controle em relação ao chão e V p é a velocidade da placa. F → é a força que a placa exerce sobre o jato. O volume de controle se movimenta junto com a placa. Por isso, a velocidade do volume de controle é igual à velocidade da placa V p .

Passo 2

Agora que escolhemos o volume de controle, podemos usar a segunda lei de Newton nesse volume de controle. Como a velocidade V do jato é constante, o escoamento do volume de controle é considerado como sendo um escoamento em regime permanente.

Como estamos interessados apenas nas forças horizontais (do eixo x ), usaremos apenas a equação de quantidade de movimento (segunda lei de Newton) relativa ao eixo x apenas. Além disso, o volume de controle possui apenas uma corrente de fluido entrando horizontalmente nele. Por causa de todos esses fatores, podemos usar a equação 6 - 27 .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, m ˙ é a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle. β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. V 1 , x é a velocidade relativa do jato no eixo x em relação ao volume de controle móvel. V 2 , x é a velocidade relativa da água no eixo x que colidiu com a placa.

Esta é a equação de quantidade de movimento no eixo x (segunda lei de Newton) para um escoamento em regime permanente, com uma corrente entrando e outra saindo. No próximo passo descobriremos quanto vale cada termo dessa fórmula.

Passo 3

Pela figura acima, a força F → parece ser a única força sobre o volume de controle no eixo x . Mas você poderia se perguntar se a força da pressão P do jato e a força da pressão atmosférica P a t m também não contam.

Elas existem, mas a pressão de um jato na atmosfera é muito próxima da pressão atmosférica P = P a t m . Logo, a força da pressão do jato se cancela com a força da pressão atmosférica. Por causa disso, ∑ F x vale:

∑ F x = - F

O sinal de menos está presente na fórmula, porque a força F está no sentido negativo de x .

Além disso, os fatores de correção β 1 e β 2 valem 1 para jatos!

β 1 = 1

β 2 = 1

V 1 , x é a componente horizontal da velocidade relativa do jato em relação ao volume de controle. V 1 , x é a velocidade do jato em relação ao chão V mais a velocidade do volume de controle em relação ao chão V p , porque V e V p estão em sentidos opostos.

V 1 , x = V + V p

V 2 , x é a componente horizontal da velocidade relativa da água que sai do volume de controle. Como a água sai do volume de controle apenas com velocidades verticais, V 2 , x vale zero.

V 2 , x = 0

Por fim, a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle m ˙ vale:

m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ A

onde ρ é a massa específica da água e A é a área da superfície de controle através da qual o jato passou.

Substituindo a equação de V 1 , x na fórmula de m ˙ encontramos:

m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ A       ⟹       m ˙ = ρ ⋅ V + V p ⋅ A

Passo 4

Substituindo todos esses dados na segunda lei, encontramos uma fórmula para a força F .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x     ⟹   - F = ρ ⋅ V + V p ⋅ A ⋅ 1 ⋅ 0 - 1 ⋅ V + V p

F =   ρ ⋅ V + V p 2 ⋅ A

Como a velocidade da placa V p vale zero, quando uma força F é aplicada sobre ela, a força vale:

F =   ρ ⋅ V + V p 2 ⋅ A       ⟹       F =   ρ ⋅ V + 0 2 ⋅ A       ⟹       F =   ρ ⋅ V 2 ⋅ A

Como a fórmula de F em função de V p foi deduzida para o caso geral em que a placa tinha uma velocidade V p , podemos usar essa mesma fórmula para calcular a força F ' .

F ' =   ρ ⋅ V + V p 2 ⋅ A

No entanto, quando uma força F ' é aplicada sobre a placa, ela se move a 0,5 V no sentido do bocal. Logo:

F ' =   ρ ⋅ V + V p 2 ⋅ A       ⟹       F ' =   ρ ⋅ V + 0,5 V   2 ⋅ A       ⟹       F ' =   2,25 ⋅ ρ ⋅ V 2 ⋅ A ⏟ F

F ' =   2,25 ⋅ F

Resposta

F ' =   2,25 ⋅ F

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