Enunciado

Um jato uniforme de água sai de um bocal de 15 mm de diâmetro e escoa diretamente para baixo. A velocidade do jato no plano de saída do bocal é 2,5 m/s. O jato atinge um disco horizontal e escoa radialmente para fora como uma lâmina de água. Obtenha uma expressão geral para a velocidade que a corrente líquida atingiria no nível do disco. Desenvolva uma expressão para a força requerida para manter o disco estacionário, desprezando as massas do disco e da lâmina de água. Avalie para h = 3   m .

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício desenhando o volume de controle a ser utilizado:

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a saída do bocal e a placa onde a água escoa pelos lados, então temos:

p 0 ρ + v 0 2 2 + g ( h ) = p ρ + v 2 2 + g ( 0 )

Como os dois pontos de análise estão expostos ao ambiente, podemos cancelar os termos de pressão que aparecem, então, isolando a velocidade com que a água sai da placa, temos:

v = v 0 2 + 2 g h

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação 4.18c apresentada nessa seção do equilíbrio de momento, para o volume de controle do passo 1:

F z = F S z + F B z = ∂ ∂ t ∫ V C   w ρ d V + ∫ S C   w ρ V → . d A →

Como não temos força de campo na direção z , pois foi dito no enunciado para desprezar os pesos do disco e da lâmina de água, então F B z = 0 . E como o escoamento se dá em regime permanente, então a derivada no tempo também será zero, dessa forma, substituindo os valores conhecidos, temos:

F S z = - w 1 - ρ v A + w 2 ( ρ v 0 A 0 )

E, nesse caso, temos w 1 = - v e w 2 = 0 , então, substituindo os valores conhecidos:

F S z = ρ v 2 A

Passo 3

Agora, como da conservação de massa do sistema, a vazão que chega deve ser igual a vazão que sai, então:

ρ Q 0 = ρ Q → v 0 A 0 = v A

Substituindo a expressão encontrada para v A na última equação do passo 2, temos:

F S z = ρ v 0 A 0 v

E, agora, substituindo o valor de v encontrado no passo 1:

F S z = ρ v 0 A 0 v 0 2 + 2 g h

Passo 4

Agora, substituindo os valores conhecidos e o valor de h = 3   m dado no enunciado, temos:

F S z = 997 2,5 π 0,015 2 4 2,5 2 + 2 ( 9,8 ) ( 3 ) → F S z = 3,55   N

Resposta

v = v 0 2 + 2 g h

F S z = ρ v 0 A 0 v 0 2 + 2 g h

F S z = 3,55   N

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