Enunciado

Um jato vertical de água sai de um bocal de 75   m m de diâmetro. O jato atinge um disco horizontal (veja o Problema 4.158). O disco é restringido horizontalmente, mas está livre para se mover verticalmente. A massa do disco é 35   k g . Trace um gráfico da massa do disco v e r s u s vazão para determinar a vazão de água requerida para elevar o disco 3   m acima do plano de saída do jato.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v ) ;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível;
  6. Não há presença de aceleração.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema y , temos:

F S y + F B y - ∫ V C a r f y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não a resistência nem aceleração, então, F S y = - ∫ V C a r y ρ d ∀ = 0 :

F B y = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F B y = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Passo 3

F B y = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Sendo F B y = - m ⋅ g , temos:

- m ⋅ g = v 1 - ρ V A + v 2 ρ V A

v 1 = v ;

v 2 = 0 ;

Temos então que a massa é dada por:

- m ⋅ g = v - ρ v A

m = ρ v 2 A g

Passo 4

Temos o conhecimento apenas da velocidade e área da entrada, assim, utilizando a Equação de Bernoulli:

v 0 2 2 g + P 0 ρ g + z 0 = v 2 2 g + P ρ g + z

E sendo P 0 = P , temos que:

v 0 2 2 g + z 0 = v 2 2 g + z

v = v 0 2 + 2 g ⋅ z 0 - z

v = v 0 2 - 2 g h

Passo 5

Agora, precisamos calcular A , e por uma simples equação da continuidade conseguimos isso:

A ⋅ v = A 0 ⋅ v 0

A ⋅ v = v 0 ⋅ π D 0 2 4

Passo 6

Substituindo a fórmula dos Passos 4 e 5 na equação da massa obtida no Passo 3, temos:

m = π 4 ⋅ ρ ⋅ v 0 2 - 2 g h ⋅ v 0 D 0 2 g

Agora, apenas substituiremos os dados na equação:

m = 3 5   k g ;

g = 9,8   m / s 2 ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

D 0 = 0,0 7 5   m .

h = 3   m ;

Então:

35 = π 4 ⋅ 1000 ⋅ v 0 2 - 2 ⋅ 9,8 ⋅ 3 ⋅ 0,075 2 ⋅ v 0 9,8

v 0 = 10,61   m / s

Sendo a vazão dada por:

Q = v 0 ⋅ A 0

Temos:

Q = 10,61 ⋅ π ⋅ 0,075 2 4 = 0,0469   m 3 / s

Precisamos de uma vazão de água de 0,0469   m 3 / s para elevar o disco 3   m acima do plano de saída do jato.

Passo 7

Gráfico da massa do disco v e r s u s vazão:

Resposta

Q = 0,0469   m 3 / s

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