Enunciado

Na latitude de 45 ° , a aceleração da gravidade em função da altitude z acima do nível do mar é dada por g = a - b ⋅ z , onde a =   9,807   m / s 2 e b   =   3,32 ⋅ 10 - 6   s - 2 . Determine a altitude acima do nível do mar onde o peso de um objeto decresce 1 % .

Passo 1

O enunciado quer saber a altitude em relação a o nível do mar z que um objeto precisa estar para diminuir seu peso P em 1 % . A figura abaixo mostra alguns dados que o enunciado nos deu para fazer esse cálculo.

P 1 é o peso do objeto no nível do mar. P 2 é o peso do objeto, quando ele está na altitude z . g 1 é a gravidade do objeto no nível do mar. g 2 é a gravidade do objeto, quando ele está na altitude z . m é a massa do objeto. Não vai ser necessário conhecer m paa resolver a questão.

No próximo passo vamos descobrir a primeira etapa para calcular z .

Passo 2

O primeiro passo para resolver esse exercício é escrever numa equação o que o enunciado falou sobre a diminuição do peso do objeto. O enunciado disse que o peso P 2 do objeto acima do nível do mar é 1 % menor o peso P 1 do objeto no nível do mar.

P 2 = P 1 - 0,01 ⋅ P 1       ⟹       P 2 = 0,9 9 ⋅ P 1

Passo 3

O segundo passo é substituir a fórmula dos pesos na equação acima.

A fórmula do peso P 1 é:

P 1 = m ⋅ g 1

A fórmula do peso P 2 é:

P 2 = m ⋅ g 2

Substituindo essas duas fórmulas na primeira equação, encontramos que:

P 2 = 0,9 9 ⋅ P 1       ⟹       m ⋅ g 2 = 0,9 9 ⋅ m ⋅ g 1       ⟹       g 2 = 0,9 9 ⋅ g 1

Passo 4

O terceiro passo é substituir a fórmula das gravidades na equação anterior. Antes, temos que lembrar que a altitude do objeto, quando seu peso vale P 1 , é igual a 0   m (nível do mar) e a altitude do objeto, quando seu peso vale P 2 , é igual a z .

g 1 = a - b ⋅ z       ⟹       g 1 = 9,807 - 3,32 ⋅ 10 - 6 ⋅ 0       ⟹       g 1 = 9,807   m / s 2

g 2 = a - b ⋅ z       ⟹       g 2 = 9,807 - 3,32 ⋅ 10 - 6 ⋅ z

Substituindo na equação de antes:

9,807 - 3,32 ⋅ 10 - 6 ⋅ z = 0,9 9 ⋅ 9,807

Passo 5

O último passo é reorganizar a fórmula acima para encontrar z .

z = 9,807 - 0,9 9 ⋅ 9,807 3,32 ⋅ 10 - 6       ⟹       z ≅ 29500   m

Resposta

z = 29500   m

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