Enunciado

Quando levados a altas temperaturas, muitos combustíveis líquidos convencionais se dissociam em hidrogênio e outros componentes. Desta maneira, a vantagem de uma célula a combustível do tipo óxido sólido é que tal dispositivo pode, internamente, transformar facilmente combustíveis líquidos disponíveis em hidrogênio, que pode, então, ser usado para produzir potência elétrica de forma similar à do Exemplo 1.5. Considere uma célula a combustível portátil do tipo óxido sólido operando a uma temperatura Tcc = 800°C. A célula a combustível encontra-se no interior de um recipiente metálico cilíndrico de diâmetro D = 75 mm e comprimento L = 120 mm. A superfície externa do cilindro é isolada termicamente com um material de baixa condutividade térmica. Para uma aplicação específica, deseja-se que o registro térmico do recipiente seja pequeno, para evitar a sua detecção por sensores infravermelhos. O nível no qual o recipiente pode ser detectado por um sensor infravermelho pode ser estimado igualando-se o fluxo térmico radiante emitido pela superfície exterior do recipiente (Equação 1.5; Es = εsσTs^4) ao fluxo térmico emitido por uma superfície negra equivalente, (En = σTn^4). Se a temperatura da superfície negra equivalente, Tn, estiver próxima da temperatura da vizinhança, o registro térmico do recipiente é muito pequeno para ser detectado – não é possível distinguir o recipiente em relação à vizinhança.

(a) Determine a espessura de isolante necessária para ser aplicada sobre a parede cilíndrica do recipiente para garantir que o recipiente não se torne facilmente visível para um sensor de infravermelho (isto é, (Tn –Tviz)

(b) Calcule a temperatura da superfície externa do recipiente nos quatro casos (alta e baixa condutividade térmica; alta e baixa emissividade da superfície).

(c) Calcule a perda térmica pela parede cilíndrica do recipiente nos quatro casos.

Passo 1

Eu sei que o enunciado é muito grande, mas não fique com medo, se o Naruto não desistiu do sonho de se tornar Hokage não é o tamanho do enunciado da questão que deve te fazer desistir de resolvê-la.

Cola em mim que a gente vai resolver isso aí juntos!

Nessa questão, temos uma célula combustível cilíndrica operando a uma temperatura de T c c = 800   ° C = 1073   K , com a superfície externa do cilindro é isolada termicamente com um material de baixa condutividade térmica, como demonstra o esquema ilustrativo abaixo com algumas das propriedades que vamos utilizar:

Além disso, temos que nos atentar a uma relação imposta pelo enunciado: como se deseja que o registro térmico do recipiente seja pequeno, para evitar a sua detecção por sensores infravermelhos, deve-se estipular o nível no qual o recipiente pode ser detectado por um sensor infravermelho pode ser estimado igualando-se o fluxo térmico radiante emitido pela superfície exterior do recipiente ( E s   =   ε s σ T s 4 ) ao fluxo térmico emitido por uma superfície negra equivalente, ( E n   =   σ T n 4 ). Sendo assim, a temperatura da superfície pode ser calculada com a seguinte expressão:

ε s σ T s 4 = σ T n 4 → T s = T n ε s 1 / 4

Sendo ε s   a emissividade da superfície do isolante.

Esse problema quer que a gente calcule o valor da espessura t do isolante em quatro situações diferentes colocadas no enunciado, além de calcular a temperatura da superfície externa do isolante e, por fim, calcular a perda térmica (taxa de transferência de calor) pela parede cilíndrica do recipiente nos mesmo quatro casos.

Pra isso, a gente tem que montar o circuito térmico do nosso volume de controle, como demonstra o esquema ilustrativo abaixo:

Dá pra perceber pela imagem que o circuito térmico pra nosso problema tem resistências a transferência de calor por radiação e por convecção em paralelo, amas em série a uma resistência à transferência de calor por condução.

Fazendo um balanço da taxa de transferência de calor por condução q , chegamos a:

q = q c o n v + q r a d  

Onde essas taxas podem ser calculadas como:

  • q =   T c c - T s l n ⁡ ( r 2 / r 1 ) 2 π k L , que é a taxa de transferência de calor do combustível até a superfície externa do isolante, sendo r 2 = t + r 1 ;
  • q c o n v =   T s - T ∞ 1 h 2 π r 2 L , que é a taxa de transferência de calor por convecção a partir da parte externa do isolante;
  • q c o n v =   T s - T v i z 1 h r 2 π r 2 L , que é a taxa de transferência de calor por radiação a partir da parte externa do isolante, sendo h r = ε s σ ( T s   +   T v i z ) ( T s 2   + T v i z 2 ) , com σ = 5,67 x 10 - 8 W m 2 . K 4 .

Ou seja, nossa expressão pro balanço fica assim:

T c c - T s l n ⁡ ( r 2 / r 1 ) 2 π k L =   T s - T ∞ 1 h 2 π r 2 L + T s - T v i z 1 h r 2 π r 2 L

Caramba, foi muita informação! Mas agora nos próximos passos a gente vai resolver as letras (a), (b) e (c) do problema! Além disso, na resposta eu vou deixar uma tabela com todos os resultados que a gente calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a letra (a) da questão.

Temos que calcular a espessura mínima para que a diferença máxima entre a temperatura de um corpo negro equivalente T n e a temperatura das vizinhanças T v i z seja de 5   K , de modo que para garantir que o recipiente não se torne facilmente visível para um sensor de infravermelho, ou seja, T n = T v i z + 5   K = 305   K .

Dessa maneira, a temperatura da superfície é:

T s = T n ε s 1 / 4 =   305   ε s 1 / 4

Agora, vamos montar quatro expressões (uma pra cada situação dada no enunciado do item (a)) e calcular o valor da espessura t do isolante:

  1. Para   ε s   =   0,90 e k   =   0,09 W m . K
  2. 68,4 l n ⁡ t + 0,0375 0,0375 =   180 t + 6,75 + 76,4 t + 2,86 = 256,4 t + 9,61

    → l n ⁡ t + 0,0375 0,0375 = 68,4 256,4 t + 9,61  

    → t + 0,0375 0,0375 = e 68,4 256,4 t + 9,61

    t - ( 0,0375 ) e 68,4 256,4 t + 9,61 + 0,0375 = 0

    Agora devemos resolver essa equação. Aqui utilizamos solver do programa Scilab, mas você pode utilizar o solver do Excel (ou outros programas) ou até mesmo o método de busca direta na sua calculadora.

    Sendo assim:

    t = 0,1364   m

  3. Para   ε s   =   0,90 e k   =   0,006   W m . K
  4. 4 , 5 6 l n ⁡ t + 0,0375 0,0375 =   180 t + 6,75 + 76,4 t + 2,86

    → l n ⁡ t + 0,0375 0,0375 = 4,56 256,4 t + 9,61  

    → t + 0,0375 0,0375 = e 4,56 256,4 t + 9,61

    t - ( 0,0375 ) e 4,56 256,4 t + 9,61 + 0,0375 = 0

    Novamente, resolvendo a equação:

    t = 0,0151   m

  5. Para   ε s   =   0,08 e k   =   0,09 W m . K
  6. 45 l n ⁡ t + 0,0375 0,0375 = 3306 t + 124 +   454 t + 17

    → l n ⁡ t + 0,0375 0,0375 = 45 3760 t + 141  

    → t + 0,0375 0,0375 = e 45 3760 t + 141

    t - ( 0,0375 ) e 45 3760 t + 141 + 0,0375 = 0

    Novamente, resolvendo a equação:

    t = 0 , 010 6   m

  7. Para   ε s   =   0,08 e k   =   0,006   W m . K

3 l n ⁡ t + 0,0375 0,0375 =   3306 t + 124 +   454 t + 17

⁡ t + 0,0375 0,0375 = 3 3760 t + 141  

→ t + 0,0375 0,0375 = e 3 3760 t + 141

t - ( 0,0375 ) e 3 3760 t + 141 + 0,0375 = 0

Novamente, resolvendo a equação:

t = 0 , 000 8   m

Passo 3

Agora, vamos resolver a letra (b).

Vamos simplesmente calcular as temperaturas da superfície pras quatro situações que vimos no passo anterior:

  • Para as situações 1) e 2):
  • T s = 305   K ( 0,90 ) 1 / 4 = 313   K

  • Para as situações 3) e 4):

T s = 305   K ( 0,08 ) 1 / 4 = 573,5   K

Passo 4

Pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (c) agora.

Devemos calcular a perda térmica pra cada um dos quatro casos demonstrados no Passo 2:

  1. q =   T c c - T s l n ⁡ ( ( t + r 1 ) / r 1 ) 2 π k L = 1073   K - 313   K l n ⁡ ( ( 0,1364   m + 0,0375 m   ) / 0,0375 m ) 2 π 0,09 W m . K 0,12   m = 33,5   W

  2. q =   T c c - T s l n ⁡ ( ( t + r 1 ) / r 1 ) 2 π k L = 1073   K - 313   K l n ⁡ ( ( 0,0151 m + 0,0375 m   ) / 0,0375 m ) 2 π 0,006 W m . K 0,12   m = 10,13   W

  3. q =   T c c - T s l n ⁡ ( ( t + r 1 ) / r 1 ) 2 π k L = 1073   K - 573,5   K l n ⁡ ( ( 0 , 010 6   m + 0,0375 m   ) / 0,0375 m ) 2 π 0,09 W m . K 0,12   m = 136,16   W

q =   T c c - T s l n ⁡ ( ( t + r 1 ) / r 1 ) 2 π k L = 1073   K - 573,5   K l n ⁡ ( ( 0 , 000 8   m + 0,0375 m   ) / 0,0375 m ) 2 π 0,006 W m . K 0,12   m = 107   W

Ufa, finalmente acabou e matamos a questão junto!

Resposta

Vamos resumir as respostas dos itens (a), (b) e (c) na tabela abaixo:

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