Enunciado

Um líquido incompressível de viscosidade desprezível é bombeado com uma vazão volumétrica total Q através de dois pequenos orifícios para dentro de uma pequena fresta entre discos paralelos estreitamente espaçados, conforme mostrado. Considere que, na fresta, o líquido tenha apenas movimento radial e que o escoamento é uniforme através de qualquer seção vertical. A descarga é feita para a pressão atmosfera em r = R . Obtenha uma expressão para a variação de pressão como uma função do raio. Sugestão: Aplique a conservação de massa e a equação da quantidade de movimento a um volume de controle diferencial de tamanho d r localizado no raio r .

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício ilustrando o problema e desenhando o volume de controle conforme pedido no enunciado:

Vamos começar esse exercício aplicando o princípio da continuidade para o sistema, nesse caso, teremos:

0 = ∂ ∂ t ∫ V C   ρ d V + ∫ S C   ρ V → . d A →

Então, nesse caso, aplicando para o volume de controle desenhado, sabendo que o escoamento se dá em regime permanente, então podemos cancelar a derivada no tempo, dessa forma, temos:

0 = - ρ V h r d θ ρ V + d V h r + d r d θ → V r = V r = V + d V r + d r = c t e

Então, como V r é constante, então, escrevendo a vazão, temos:

Q = V A = V 2 π r h

Para r = R , temos:

Q = V R 2 π R h → V R = Q 2 π R h

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação 4.18 apresentada nessa seção do equilíbrio de momento, para o volume de controle do passo 1:

F r = F S r + F B r = ∂ ∂ t ∫ V C   V r ρ d V + ∫ S C   V r ρ V → . d A →

Como o escoamento se dá em regime permanente, então a derivada no tempo será zero, e como não temos força de campo atuando na direção r , então F B r = 0 , dessa forma, a equação se torna:

p h r d θ + 2 p + d p 2 h d r s e n d θ 2 - p + d p h r + d r d θ = V r 1 - ρ V h r d θ + V r 2 ρ V + d V h r + d r d θ

E, nesse caso, temos V r 1 = V e V r 2 = V + d V , então, substituindo os valores conhecidos:

p h r d θ + 2 p + d p 2 h d r s e n d θ 2 - p + d p h r + d r d θ = V - ρ V h r d θ + ( V + d V ) ρ V + d V h r + d r d θ

Lembrando da equação da conservação de massa do passo 1, onde vimos que:

V + d V r + d r = V r

Substituindo essa expressão na equação anterior, temos:

p h r d θ + 2 p + d p 2 h d r s e n d θ 2 - p + d p h r + d r d θ = V - ρ V h r d θ + ( V + d V ) ρ V r h d θ

Como temos um ângulo d θ pequeno, então podemos usar a aproximação s e n   d θ = d θ , e sabendo que o produto de dois infinitesimais é um número bem pequeno, podemos desprezar esse valor, então, simplificando a equação, temos:

p h r d θ + 2 p h d r d θ 2 - p h r d θ - p h d r d θ - d p h r d θ + d p h d r d θ = - ρ V d V r h d θ

Cancelando os termos em comum e dividindo a equação por d θ , já que esse termo aparece multiplicando todos os outros, temos:

d p h r = - ρ V r h d V

d p = - ρ V d V

Passo 3

Agora vamos integrar a expressão obtida no passo 2, então, temos:

∫ p R p r d p = ∫ V R V - ρ V d V

Então, resolvendo as duas integrais, temos:

p r - p R = - ρ V 2 2 V R V

Substituindo o limite de integração, temos:

p r - p R = - ρ 2 V 2 - V R 2

p r - p R = - ρ V R 2 2 V 2 V R 2 - 1

Então, como o disco está exposto à atmosfera na sua extremidade, temos p R = p a t m e como vimos V r é constante e que:

V R = Q 2 π R h

Então, temos:

V = Q 2 π r h

Então, a divisão V / V R será:

V V R = Q 2 π r h Q 2 π R h → V V R = R r

Substituindo os valores conhecidos, temos:

p r - p a t m = - ρ 2 Q 2 π R h R r 2 - 1 → p r = p a t m + ρ Q 4 π R h 1 - R r 2

Resposta

p r = p a t m + ρ Q 4 π R h 1 - R r 2

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