Enunciado

Um líquido cai verticalmente dentro de um canal retangular aberto, curto e horizontal, de largura b . A vazão volumétrica total, Q , é uniformemente distribuída sobre a área b L . Despreze efeitos viscosos. Obtenha uma expressão para h 1 em termos de h 2 ,   Q e b . Sugestão: Escolha um volume de controle com fronteira externa localizada em x = L . Esboce o perfil da superfície, h ( x ) . Sugestão: Use um volume de controle diferencial de largura d x .

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício ilustrando o problema e desenhando os dois volumes de controle sugeridos no enunciado:

Vamos começar esse exercício aplicando o princípio da continuidade para o sistema, nesse caso, teremos:

0 = ∂ ∂ t ∫ V C   ρ d V + ∫ S C   ρ V → . d A →

Então, nesse caso, teremos regime permanente, então a derivada no tempo será zero. Aplicando para o volume de controle com fronteira externa localizada em x = L , temos:

0 = - ρ Q + ρ V 2 b h 2 → V 2 = Q b h 2

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação para o equilíbrio de momento para esse mesmo volume de controle, então aplicando a equação na direção x , temos:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Nesse caso, temos regime permanente, então o termo com a derivada no tempo será zero. Como não temos forças gravitacionais agindo na direção x , então F B x = 0 . Dessa forma a equação se torna:

ρ g b h 1 2 2 - ρ g b h 2 2 2 = u 1 0 + u 2 ρ Q + u 3 ( - ρ Q )

Só que, nesse caso, sabemos que u 1 = 0 ,   u 2 = V 2 ,   u 3 = 0 , então a equação acima se torna:

ρ g b 2 h 1 2 - h 2 2 = ρ Q V 2

No entanto, conforme vimos no passo 1, a velocidade V 2 será:

V 2 = Q b h 2

Então, substituindo essa expressão na equação anterior, temos:

ρ g b 2 h 1 2 - h 2 2 = ρ Q Q b h 2 → ρ g b 2 h 1 2 - h 2 2 = ρ Q 2 b h 2

E, isolando h 1 dessa equação, temos:

h 1 = 2 Q 2 g b 2 h 2 + h 2 2

Passo 3

Agora, para esboçar o perfil da superfície h ( x ) , vamos analisar o volume de controle diferencial de largura d x ilustrado no esquema do passo 1. Aplicando a conservação de massa, temos:

0 = ∂ ∂ t ∫ V C   ρ d V + ∫ S C   ρ V → . d A →

Então, nesse caso, teremos regime permanente, então a derivada no tempo será zero. Aplicando para o volume de controle diferencial, temos:

0 = - V b h + - Q b d x b L + V + d V b h + d h

0 = - V b h + - Q d x L + V b h + V b d h + b h d V + b d V d h

Então, como sabemos que a multiplicação de dois infinitesimais dá um número bem pequeno, então, podemos ignorar esse termo, e a equação se torna:

0 = - Q d x L + V b d h + b h d V → Q L d x = b h d V + V d h

Agora, vamos utilizar a propriedade do produto da derivada, só que para voltar ao estado original, então, temos:

Q L d x = b d h V → d h V d x = Q b L

Passo 4

Agora vamos aplicar a equação para o equilíbrio de momento para esse mesmo volume de controle, então aplicando a equação na direção x , temos:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Nesse caso, temos regime permanente, então o termo com a derivada no tempo será zero. Como não temos forças gravitacionais agindo na direção x , então F B x = 0 . Dessa forma a equação se torna:

ρ g b h 2 2 - ρ g b h + d h 2 2 = u 1 - ρ V b h + u 2 - ρ Q d x L + u 3 ρ V + d V b h + d h

E, nesse caso, sabemos que u 1 = V , u 2 = 0 e u 3 = V + d V , então a equação acima se torna:

ρ g b h 2 2 - ρ g b h 2 + 2 h d h + d h 2 2 = V - ρ V b h + V + d V ρ V + d V b h + d h

Da continuidade, temos que V + d V h + d h = ρ V b h + ρ Q d x / L , então, simplificando os termos e substituindo essa relação, temos:

- ρ g b 2 h d h + d h 2 2 = V - ρ V b h + V + d V ρ V b h + ρ Q d x / L

- ρ g b 2 h d h + d h 2 2 = - ρ V 2 b h + ρ V 2 b h + ρ V Q d x L + ρ V b h d V + ρ Q d V d x L

- ρ g b 2 h d h + d h 2 2 = ρ b V h d V + ρ V Q d x L + ρ Q d V d x L

Então, como sabemos que a multiplicação de dois infinitesimais dá um número bem pequeno, então, podemos ignorar esses termos, e a equação se torna:

- ρ g b h d h = ρ b V h d V + ρ V Q d x L → - g h d h = V h d V + Q V d x b L

No desenvolvimento da equação da continuidade, temos que:

V h d V = - V 2 d h + Q V d x b L

Então, substituindo essa expressão na equação anterior:

- g h d h = - V 2 d h + Q V d x b L + Q V d x b L → - g h d h = - V 2 d h + 2 Q V d x b L

d h V 2 - g h = 2 Q V d x b L → d h d x = 2 Q V b L V 2 - g h

Colocando o termo g h em evidência no denominador para podermos interpretar a equação, temos:

d h d x = 2 Q V b L g h V 2 g h - 1

Então, pelo desenho, podemos ver que h 1 > h 2 e a altura h vai diminuindo com o comprimento x , dessa forma a derivada d h / d x deve ser menor que zero, para isso, devemos ter:

V 2 g h < 1

Já que os outros termos da equação são todos positivos.

Resposta

h 1 = 2 Q 2 g b 2 h 2 + h 2 2

d h d x = 2 Q V b L g h V 2 g h - 1

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