Enunciado

Um líquido de viscosidade μ = 0,3   N s / m 2 escoa entre duas placas paralelas infinitas distantes 5 mm, com escoamento laminar. O gradiente de pressões ao longo do escoamento é 2000 N / m 2 m . Determinar a tensão de cisalhamento na placa superior e a vazão em olume por unidade de profundidade.

Passo 1

Para resolver essa questão precisamos fazer as seguintes considerações:

  • Escoamento unidirecional ao longo de x
  • Regime permanente
  • A velocidade só varia o longo de z

Se quiser saber os detalhes, abaixo eu explico direitinho cada uma das considerações:

A questão não especifica a orientação das placas, então vamos considerar que as placas são paralelas ao eixo x , pois isso vai garantir que o escoamento é unidimensional:

v y = v z = 0

E também vamos assumir que o regime é permanente:

∂ v ∂ t = 0

Agora vamos olhar pro nosso escoamento. Como ele é viscoso, ele tem uma distribuição parabólica como mostrada na figura:

Isso demonstra que a velocidade v x varia ao longo de z . A questão afirma que as placas são infinitas, isso nos permite assumir que o escoamento é completamente desenvolvido e por isso não varia ao longo de x . Em outras palavras, v x é função apenas de z :

v x = v x ( z )

E por fim, como estamos desconsiderando o eixo y , e a variação de energia potencial gravitacional ao longo de z é muito pequena, podemos assumir que a pressão varia apenas no eixo x

p = p ( x )

Passo 2

Com todas as considerações que fizemos a equação de Navier-Stokes se torna:

0 = - 1 ρ ∂ p ∂ x + ν ∂ 2 v x ∂ z 2

Mas perceba o seguinte, como a pressão só é função de x ; e v x é função apenas de z , podemos tornar as derivadas parciais em derivadas totais. 1 ρ d p d x = ν d 2 v x d z 2

d p d x = μ d 2 v x d z 2

Agora observe o macete da questão: como a pressão só é função de x ; e v x é função apenas de z , a igualdade acima só será verdadeira se o resultado das derivações for uma constante.

d p d x = μ d 2 v x d z 2 = β

Então podemos separar as duas equações:

μ d 2 v x d z 2 = β

d p d x = β

Passo 3

Mas e agora? Como vamos descobrir o valor de β ?

Fácil, a questão diz que: O gradiente de pressões ao longo do escoamento é 2000 N / m 2 m , em termos matemáticos:

∇ p = - 2000 N m 2 m

O motivo do sinal negativo é porque sabemos que esse gradiente corresponde a uma queda de pressão.

∂ p ∂ x + ∂ p ∂ y + ∂ p ∂ z = - 2000 N / m 2 m

Como p só varia ao longo de x :

∂ p ∂ x = - 2000 N / m 2 m

Logo, o valor de β é:

β = - 2000 N / m 2 m

Passo 4

Agora temos:

μ d 2 v x d z 2 = - 2000 N m 2 m

Logo:

d 2 v x d z 2 = - 2000 0,3 N m 3 ⋅ m 2 N s

d 2 v x d z 2 = - 20.000 3 1 m . s

Integrando duas vezes termos:

d v x d z = - 20.000 3 z + C 1

v x = - 20.000 6 z 2 + C 1 z + C 2

Observando de novo o desenho:

Percebemos que quando z = 0 ⇒ d v x d z = 0 , aplicando:

0 = - 20.000 6 0 2 + C 1

C 1 = 0

E que quando z = 2,5   m m ⇒ v x = 0 , aplicando:

v x = - 20.000 6 z 2 + C 2

0 = - 20.000 6 2 , 5 ⋅ 10 - 3 2 + C 2

C 2 = 6,25 3 ⋅ 10 - 3

A equação final é:

v x = 1 6 ( - 20000 ⋅ z 2 + 0,125 )

Passo 5

A tensão de cisalhamento é definida por:

τ = - μ ⋅ d v d z

τ = - μ ⋅ - 20.000 6 z

No ponto z = 2,5   m m

τ = 0,3 ⋅ 20.000 6 ⋅ 2,5 ⋅ 10 - 3

τ = 2,5 N m 2

Passo 6

Pela equação da continuidade, a velocidade média é dada por:

Q = ∫ A v x d A

Vamos chamar a largura da placa de b , então a área de vazão é dada por:

A z = b ⋅ z

d A = b d z

Na integral

Q = ∫ A 1 6 - 20 0 00 ⋅ z 2 + 0,125 b d z

A integração ocorrerá entre 0   m m e 2,5   m m :

Q b = 1 6 ∫ - 0,0025 0,0025 - 200 0 0 ⋅ z 2 + 0,125 d z

q x = 1 6 - 20000 3 z 3 + 0,125 ⋅ 10 - 3 ⋅ z   - 0,0025 0,0025

q x = 6,94 ⋅ 10 - 5 m 3 / s m

Resposta

τ = 2,5 N m 2

q x = 6,94 ⋅ 10 - 5 m 3 / s m

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