Enunciado

Uma longa barra de conexão (haste cilíndrica usada para fazer conexões elétricas) de diâmetro D é instalada no interior de um grande conduíte, que tem uma temperatura superficial de 30°C e no qual o ar ambiente tem temperatura T∞ = 30°C. A resistividade elétrica, ρe (μΩ · m), do material da barra é uma função da temperatura, na forma ρe = ρe,o [1 + α(T − To)], onde ρe,o = 0,0171 μΩ · m, To = 25°C e α = 0,00396 K−1. Há convecção natural entre a barra e o ar ambiente, e o coeficiente de transferência de calor depende do diâmetro da barra, assim como da diferença de temperaturas entre a sua superfície e o ambiente. A relação que governa esta dependência tem a forma h = C D–0,25 (T – T∞)0,25, sendo C = 1,21 W · m–1,75 K–1,25. A emissividade da superfície da barra é ∞ = 0,85.

(a) Reconhecendo que a resistência elétrica por unidade de comprimento da barra é R’e= ρe/Asr, em que Asr é a área da sua seção transversal, calcule a capacidade de transporte de corrente de uma barra com 20 mm de diâmetro, se a sua temperatura não puder exceder a 65°C. Compare a importância relativa das transferências de calor por convecção natural e por radiação.

(b) Para avaliar o compromisso entre a capacidade de transporte de corrente, a temperatura operacional e o diâmetro da barra, para diâmetros de 10, 20 e 40 mm, faça um gráfico da temperatura da barra T como uma função da corrente no intervalo 100 ≤ I ≤ 5000 A. Também coloque no gráfico a razão entre a transferência de calor por convecção e a transferência de calor total.

Passo 1

Vamo analisar o enunciado junto pra entender o que ele quer de você.

Temos uma haste cilíndrica de diâmetro D , por onde passa uma corrente elétrica   I , está insierida em um conduíte de temperatura T v i z = 30   ° C e submetido à convecção com o ar a T ∞ = 30   ° C , conforme demonstra o esquema ilustrativo abaixo:

Esse problema quer que a gente calcule o valor da corrente que passa na haste para uma temperatura de 65 ° C na sua superfície, além de calcular a razão entre as transferências de calor por convecção natural e por radiação e, por fim, traçar gráficos da temperatura da parede pela corrente e da porcentagem de transferência de calor por convecção pela temperatura da parede.

Pra isso, a partir desse esquema ilustrativo acima, podemos fazer um balanço de energia integral por unidade de comprimento:

E ' ˙ g e r = E ' ˙ s a i

Sendo:

  • E ' ˙ g e r = P e l e t = R ' e I ² , que é a fórmula pra potência elétrica que a gente vê no ensino médio ou em matérias de Eletrotécnica;
  • E ' ˙ s a i =   q c o n v ' + q r a d ' , que é uma soma das taxas por unidade de comprimento das formas de transferência de calor condutiva e radiante que ocorrem na haste.

Vamos lembrar como calcula as taxas pra essas duas formas de transferência de calor e a resistência elétrica?

Para a taxa de calor convectiva, devemos utilizar a seguinte equação:

q ' c o n v = h π D T - T ∞

Onde o coeficiente de convecção é calculado como

h =   C   D – 0,25   ( T   –   T ∞ ) 0,25

Sendo C   =   1,21   W   ·   m – 1,75   K – 1,25 .

Para a taxa de calor por radiação, devemos utilizar a seguinte equação:

q r a d = ε σ π D ( T 4 - T v i z 4 )

Sendo ε = 0,85 a emissividade da haste, σ = 5,67 x 10 - 8 W m 2 . K a constante de Stefan-Boltzmann. Lembrando que para calcular taxas de transferência de calor por radiação a gente tem que usar a temperatura em K !

Por fim, a resistência elétrica pode ser calculada como:

R ' e =   ρ e A s r = 4 ρ e π D ²

Sendo a resistividade elétrica da haste ρ e =   ρ e , 0 1   +   α ( T   -   T 0 ) , com ρ e , 0 = 0,0171   μ Ω . m , α   =   0,00396   K - 1 e   T 0 =   25 ° C .

Caramba, foi muita informação! Mas agora nos próximos passos a gente vai resolver as letras (a) e (b) do problema!

Passo 2

Primeiro, vamo resolver a primeira parte do item (a) do problema, considerando a haste de diâmetro D = 20   m m = 0,02   m e a temperatura da superfície igual a T = 65 ° C .

Vamos calcular as duas taxas de transferência de calor e a resistência térmica que eu te mostrei no passo anterior:

q ' c o n v = 1,21   W m – 1,75   K – 1,25   0,02   m – 0,25   ( 65 ° C   – 30 ° C ) 0,25 π 0,02   m 65 ° C   – 30 ° C

→ q ' c o n v = 17,21 W m

q ' r a d = 0,85 5,67 x 10 - 8 W m 2 . K π 0,02   m ( 338   K 4 - ( 303   K ) 4 )

→ q ' r a d = 14 W m

R ' e = 4 ( 0,0171   μ Ω . m ) 1   + 0,00396   K - 1 ( 65 ° C   -   25 ° C ) π ( 0,02   m ) ² = 6,3 x 10 - 5 Ω m  

Substituindo no balanço, temos:

R ' e I 2 =   q c o n v ' + q r a d ' → I 2 = q c o n v ' + q r a d ' R ' e → I = q c o n v ' + q r a d ' R ' e

Substituindo os valores:

I = 17,21 W m + 14 W m 6,3 x 10 - 5 Ω m = 704   A

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda parte da letra (a).

A gente quer agora calcular a contribuição convectiva no total do calor perdido pela haste, a partir da seguinte equação:

% c o n v =   q c o n v ' q t o t a l ' = q c o n v ' q c o n v ' + q r a d '

Pronto, agora basta que a gente substitua os valores de q c o n v ' e q r a d ' que a gente calculou no Passo 2:

% c o n v = 17,21 W m 17,21 W m + 14 W m = 55 %

Passo 4

Pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (b) agora.

A gente tem que traçar gráficos da corrente pela temperatura da superfície e da porcentagem de transferência de calor por convecção pela superfície da parede para diâmetros de 10, 20 e 40 m m , montando funções pra isso.

Vamos fazer isso agora?

  1. Corrente I em função da temperatura T
  2. Indo no balanço do Passo 1, a gente pode chegar à seguinte expressão:

    0,0218   + 8,63 x 10 - 5 ( T -   298 ) D ² I 2 =   3,8 D 0,7 5 T - 303 1,25 + 1,51 x 10 - 7 D ( T 4 - 8,43 x 10 9 )

    → I 2 = 3,8 D 2,75 T - 303 1,25 + 1,51 x 10 - 7 D 3 ( T 4 - 8,43 x 10 9 ) 0,0218   + 8,63 x 10 - 5 T -   298

    → I ( T ) = 3,8 D 2,7 5 T - 303 1,25 + 1,51 x 10 - 7 D 3 ( T 4 - 8,43 x 10 9 ) 0,0218   + 8,63 x 10 - 5 T -   298

    Agora, podemos traçar um gráfico no Excel variando a temperatura:

    É possível ver que com o aumento do diâmetro da haste, maior a corrente que passa por ela para uma mesma temperatura da superfície. Ou seja, para que se atinja uma certa temperatura da superfície, quanto maior o diâmetro, mais corrente deveria passar pela haste.

  3. Porcentagem da taxa de convecção em função da temperatura T

Pela equação que a gente definiu no Passo 3, a gente pode chegar à seguinte expressão:

% c o n v   T = q c o n v ' q c o n v ' + q r a d ' = 3,8 D 0,7 5 T - 303 1,25 3,8 D 0,7 5 T - 303 1,25 + 1,51 x 10 - 7 D ( T 4 - 8,43 x 10 9 )

Agora, podemos traçar um gráfico no Excel variando a temperatura:

É possível ver que com o aumento do diâmetro da haste, menos a taxa convectiva será importante para a transferência de calor que está ocorrendo.

Ufa, finalmente matamos a questão juntos e acabamos!

Resposta

(a) A capacidade de transporte de corrente de uma barra com 20 m m é I = 704   A e a taxa de transferências de calor por convecção corresponde a 55 % do total.

(b) Os gráficos de Corrente pela Temperatura da superfície e da Porcentagem de transferência de calor por convecção pela Temperatura superfície são, respectivamente:

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