Enunciado

Uma longa haste cilíndrica de diâmetro de 240   m m com condutividade térmica de 0,6   W / m ⋅ K experimenta geração de calor volumétrico uniforme de 24.000   W / m 3 . A haste é encapsulada por uma luva circular com um diâmetro externo de 440   m m e uma condutividade térmica de 6   W / m ⋅ K . A superfície externa da luva é exposta ao fluxo cruzado de ar a 27 ℃ com um coeficiente de convecção de 25   W / m 2 ⋅ K .

(a) Encontre a temperatura na interface entre a haste e a manga e na superfície externa.

(b) Qual é a temperatura no centro da haste?

Passo 1

Fala galera!! Bora resolver essa questão??

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

(1) Condução radial unidimensional na haste e manga.

(2) Condições de estado estacionário.

(3) Geração volumétrica uniforme na haste.

(4) Resistência de contato insignificante entre haste e manga.

Os dados fornecidos foram:

Diâmetro da haste cilíndrica: D = 240   m m = 0,24   m

Diâmetro externo da luva: D l = 440   m m = 0,44   m

Condutividade térmica da haste: k s = 0,6   W / m ⋅ K

Geração de calor volumétrica: q ˙ = 24.000   W / m 3

Raio externo: r 2 = 0,22   m

Raio interno na interface: r 1 = 0,12   m

Temperatura do ar ambiente: T ∞ = 27 ℃

Coeficiente convectivo: h = 25   W / m 2 ⋅ K

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos fazer um circuito térmico que representa a condução de calor no sistema. O circuito tem a seguinte forma:

Do circuito térmico, podemos escrever o seguinte:

q ' = T 1 - T ∞ R t o t ' = T 1 - T ∞ R s ' + R c o n v '

Nós não temos q ' , podemos encontrar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento usando a seguinte expressão:

q ' = E ' ˙ g e n = q ˙ π D 2 4 = 24.000   W / m 3 π 0,24   m 2 4 = 1085,73   W / m

Passo 3

(a) Para encontrar a temperatura na interface, podemos usar a seguinte expressão:

q ' = T 1 - T ∞ R s ' + R c o n v ' = T 1 - T ∞ ln ⁡ r 2 / r 1 2 π k s + 1 h π D l 2

q ' = T 1 - T ∞ ln ⁡ r 2 / r 1 2 π k s + 1 h π D l 2

T 1 = T ∞ + q ' ln ⁡ r 2 / r 1 2 π k s + 1 h π D l 2

Substituindo os termos da expressão acima pelos dados fornecidos, temos:

T 1 = 27 ℃ + 1085,73   W / m ln ⁡ 0,22   m / 0,12   m 2 π 0,6   W / m ⋅ K + 1 π 25   W / m 2 ⋅ K 0,44   m 2

T 1 = 2 73 ℃

Portanto, a temperatura na interface é 273 ℃ .

Passo 4

Nó fizemos a suposição de estado estacionário, portanto, podemos dizer que:

q ' = T 1 - T ∞ R s ' + R c o n v ' = T 2 - T ∞ R c o n v '

Logo

q ' = T 2 - T ∞ R c o n v ' = T 2 - T ∞ 1 h π D l 2

q ' = T 2 - T ∞ 1 h π D l 2

T 2 = T ∞ + q ' h π D l 2

Substituindo os termos da expressão acima pelos dados fornecidos, temos:

T 2 = 27 ℃ + 1085,73   W / m π 25   W / m 2 ⋅ K 0,44   m 2

T 2 = 98,4 ℃

Portanto, a temperatura na superfície é 98,4 ℃ .

Passo 5

(b) Para resolver essa parte, podemos utilizar a equação para o perfil de temperatura vista nessa seção, só que para o ponto em r = 0 . A equação é a seguinte:

T r = T 1 + q ˙ r 1 2 4 k s 1 - r 2 r 1 2 - q ˙ r 2 2 k s ln ⁡ r 1 r

Para r = 0 , temos:

T 0 = T 1 + q ˙ r 1 2 4 k s

Substituindo os termos da expressão acima pelos dados fornecidos, temos:

T 0 = 273 ℃ + 24.000   W / m 3 0,12   m 2 4 0,6   W / m ⋅ K

T 0 = 417 ℃

Portanto, a temperatura no centro da haste é 417 ℃ .

Resposta

(a)

T 1 = 273 ℃

T 2 = 98,4 ℃

(b)

T 0 = 417 ℃

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