Enunciado

Um longo cabo de transmissão de energia está enterrado a uma profundidade (distância solo-cabo-linha central) de 1   m . O cabo é envolto em um tubo de parede fina de 0,05   m de diâmetro e, para tornar o cabo supercondutor (com dissipação de energia essencialmente zero), o espaço entre o cabo e o tubo é preenchido com nitrogênio líquido a 77   K . Se o tubo é coberto com um superisolante ( k i = 0,005   W / m ⋅ K ) de 0,05   m de espessura e a superfície da terra ( k g = 1,2   W / m ⋅ K ) está a 300   K , qual é a carga de resfriamento ( W / m ) que deve ser mantido por um refrigerador criogênico por unidade de comprimento de tubo?

Passo 1

Fala galera!!

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

(1) Condições de estado estacionário.

(2) Propriedades constantes.

(3) Condução bidimensional no solo.

(4) Condução unidimensional no isolamento.

(5) A superfície interna do tubo está à temperatura do nitrogênio líquido.

Os dados fornecidos foram:

Profundidade: z = 1   m

Diâmetro interno: D i = 0 , 05   m

Diâmetro externo: D o = 0 , 05   m + 2 × 0 , 05   m = 0 , 15   m

Temperatura do nitrogênio líquido: T n = 77 K

Temperatura da superfície da terra: T g = 300 K

Condutividade térmica do superisolante: k i = 0,005   W / m ⋅ K

Condutividade térmica da superfície da terra: k g = 1,2   W / m ⋅ K

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos fazer um circuito térmico que representa a condução de calor no sistema. O circuito tem a seguinte forma:

Do circuito térmico, temos que a taxa de calor por unidade de comprimento é:

q ' = T g - T n R t o t '

q ' = T ∞ - T t R g ' + R I '

Passo 3

Em que a resistência térmica para o isolamento e para solo são, respectivamente

R g ' = k g 2 π ln ⁡ 4 z D o   = 1,2   W / m ⋅ K   2 π ln ⁡ 4 1   m 0 , 15   m   = 2,296   m ⋅ K / W

R I ' = ln ⁡ D o D i 2 π k i = ln ⁡ 0 , 15   m 0,0 5   m 2 π 0,005   W / m ⋅ K = 34,970   m ⋅ K / W

Passo 4

Portanto a taxa de calor por unidade de comprimento é a seguinte:

q ' = 300 K - 77 K 2,296   m ⋅ K / W + 34,970   m ⋅ K / W

q ' = 5,984   W / m

Resposta

q ' = 5,984   W / m

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