Enunciado

Um mancal de bloco deslizante (Figura P10-23) é encontrado frequentemente em problemas de lubrificação. O óleo flui entre dois blocos; o bloco superior é permanente, o inferior está se movendo neste caso. O desenho não está em escala; na realidade ,   h   ≪   L . A estreita fenda entre os blocos converge quando x aumenta. Especificamente, a altura da folga h diminui linearmente de h 0 em x = 0 até h L em x   =   L . Geralmente, a altura característica da fenda h 0 é muito menor do que o comprimento axial característico L . Este problema é mais complicado do que um simples escoamento Couette entre placas paralelas devido à mudança de altura do espaçamento. Em particular, a componente da velocidade axial u é uma função de x e de y e a pressão P varia de forma não linear desde P = P 0 em x = 0 até P = P L em x = L . ( ∂ P / ∂ x não é constante). As forças de gravidade são desprezíveis neste campo de escoamento, que aproximamos como bidimensional, permanente e laminar. Na verdade, como h é muito pequeno e o óleo é muito viscoso, as aproximações do escoamento lento são usadas na análise desses problemas de lubrificação. Seja L o comprimento característico associado com x , seja h 0   ( x   ~   L   e   y   ~   h 0 ) aquele associado com y . Seja u   ~   V . Supondo escoamento lento, gere uma escala característica para a diferença de pressão Δ P = P -   P 0 em termos de L ,   h 0 ,   μ ,   e   V .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

O problema pede que analisemos um mancal de bloco deslizante considerando o escoamento lento.

Assim, vamos assumir que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. O fluxo é bidimensional no plano x-y.

3. O rastejamento a aproximação do fluxo é apropriada (como o problema sugere).

Sendo feitas essas considerações, podemos implicar que o componente x da equação do momento do escoamento lento é:

∂ P ∂ x ≈ μ ∇ 2 u                 → ∂ P ∂ x = μ ∂ ² u ∂ x ² + ∂ ² u ∂ y ² + ∂ ² u ∂ z ²

E como o fluxo foi considerado bidimensional:

∂ P ∂ x = μ ∂ ² u ∂ x ² + ∂ ² u ∂ y ²                       ( 1 )

Passo 2

Assim, podemos reescrever a equação 1 de forma:

∂ P ∂ x = μ ∂ ² u ∂ x ² + μ ∂ ² u ∂ y ²                           ( 2 )

Como o enunciado diz que x é proporcional a L ( x   ~   L ) , que y é proporcional a h 0   ( y   ~   h 0 ) , e que a velocidade axial u é uma função de x e de y , a equação 2 ainda pode ser reescrita como:

Δ P L ≈ μ V L 2 + μ V h 0 2                               ( 3 )

E analisando o termo μ V L 2 na Eq. 3, percebemos que é muito menor que o segundo termo à direita μ V h 0 2 , uma vez que h 0 < < L . Assim, de acordo com essa análise, podemos reformular a equação do momento do escoamento lento:

Δ P L ≈ μ V h 0 2                             → Δ P   ~   μ V L h 0 2

Resposta

Portanto, a escala característica para a diferença de pressão é:

Δ P   ~   μ V L h 0 2

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