Enunciado

9. Considere o escoamento da água através de um pequeno furo no fundo de um grande tanque cilíndrico (Figura P10-9). O escoamento é laminar em todos os pontos. O diâmetro d do jato é muito menos do que o diâmtro D do tanque, mas D é da mesma ordem de grandeza da altura H do tanque. Carrie que ela pode usar a aproximação de estática dos fluidos em todos os pontos no tanque exceto perto do furo, mas ela quer confirmar essa aproximação matematicamente. Ela considera a velocidade característica no tanque como V = V t a n q u e . O comprimento característico é a altura H do tanque, o temo característico é o tempo necessário para drenar o tanque t d r e n a g e m e a diferença de pressão de referencia é   ρ g H (diferença de pressão entre a superfície da água e o fundo do tanque, usando a estática dos fluidos). Substitua todos esses valores de escala na equação ne Navier-Stokes na forma adimensional incompressível ( Equação 10-6) e verifique por uma análise de orgem de grandeza que para d ≪ D , só permanecem os termos de pressão e gravidade. Em particular, compare a ordem de grandeza de cada termo com cada um dos quatro parâmetros admensionais St, Eu, Fr e Re. (Sugestão: V j a t o ≈ g H ). Sob qual critério, a aproximação de Carrie é adequada?

Passo 1

E ai, tudo certo?

Neste caso estamos diante de um enunciado gigante, porém não se assuste com isso. Basta ler o mesmo com calma e observar na equação em que ele manda substituir os valores a serem encontrados. Além de substituir, devemos lembrar que cada parâmetro admensional tem sua definição detalhada ao longo do capítulo e durante a resolução da questão.

Então, vem comigo!

Sabemos que a equação não dimensional de Navier-Stokes é,

S t ∂ V * → ∂ t * + V * → ∙ ∇ * → V → = - E u ∇ * → P * + 1 F r 2 g → + 1 R e ∇ * → 2 V * →

O número Strouhal é dado como,

S t = f L V

Aqui a frequência pode ser escrita como inversa do tempo característico.

f = 1 t d r e n a g e m

Agora, a equação de St se torna.

S t = H t d r e n a g e m V t a n q u e

Agora  t d r e n a g e m   é,

t d r e n a g e m = H V t a n q u e

Portanto, a equação acima se torna,

S t = H H V t a n q u e × V t a n q u e

= 1

Portanto,  S t = 1

Portanto, a ordem de magnitude de  S t é 1.

Passo 2

O número de Euler é,

E u = P 0 - P ω ρ V 2

Aqui a diferença de pressão P 0 - P ω  pode ser escrita como  ρ g H ,   como indica o enunciado.

A equação acima torna-se,

E u =   ρ g H ρ V 2

E u =   g H V 2

Nós sabemos também do enunciado que,

V j a t o = g H

V j a t o 2 = g H

A equação acima se torna,

E u =   V j a t o 2 V 2

De acordo com a conservação da massa,

V j a t o d 2 = V t a n q u e D 2

Portanto,

V j a t o V t a n q u e = D 2 d 2

V j a t o 2 V t a n q u e 2 = D 4 d 4

Portanto, a equação de Euler se torna,

E u =   V j a t o 2 V 2

= D 4 d 4

Portanto,  E u = D 4 d 4 .

Vem comigo, estamos quase lá!!!

Passo 3

O número de Froude é,

F r = V g H

É dado pelo enunciado que,

V j a t o = g H

A equação torna-se,

F r = V V j a t o

De acordo com a conservação da massa,

V j a t o d 2 = V t a n q u e D 2

Portanto,

V V j a t o = d 2 D 2

Portanto, o número de Froude é,  F r = d 2 D 2 .

Agora, o número de Reynolds, aquela equaçãozinha clássica

R e = ρ V H   μ

Aqui,  H = D

A equação torna-se,

R e = ρ V D   μ

= ρ V j a t o D   μ V V j a t o

Note que acima multiplicamos e dividimos pela V j a t o .

De acordo com a conservação da massa,

V j a t o d 2 = V t a n q u e D 2

Portanto,

V V j a t o = d 2 D 2

V = V j a t o d 2 D 2

Agora, a equação do Re se torna,

R e = ρ V j a t o D   μ V V j a t o

= R e j a t o V j a t o d 2 D 2 V j a t o

= R e j a t o d 2 D 2

Portanto, o número de Reynolds é,  R e = R e j a t o d 2 D 2

Agora, a equação a equação não dimensional de Navier-Stokes é,

S t ∂ V * → ∂ t * + V * → ∙ ∇ * → V → = - E u ∇ * → P * + 1 F r 2 g → + 1 R e ∇ * → 2 V * →

Na equação acima, os valores aproximados dos termos são,

S t ∂ V * → ∂ t * = 1

V * → ∙ ∇ * → V → = 1

- E u ∇ * → P * = D 2 d 2

1 F r 2 g → = D 2 d 2

1 R e ∇ * → 2 V * → = R e j a t o d 2 D 2

Para  d ≪ D   nos dois primeiros, os termos são insignificantes em comparação com outros termos.

Para o último termo, que é o termo viscoso, selecione o escoamento para laminar, R e j a t o  é da ordem de 10 - 3 .

Assim, para que o termo viscoso seja da mesma ordem de grandeza do termo inercial, d 2 / D 2 , ele precisa ser da ordem de   10 - 3 !

Nossa resposta, dessa forma, será a equação de Navier-Stokes para fluidos em repouso:

∇ → P = ρ g →

Show, conseguimos terminar!!

Resposta

Verificação em texto

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

17. A viscosidade do mel de trevo está listada em função da temperatura na Tabela P10-17. A gravidade específica do mel é aproximadamente 1,42 e não é uma função que dependa fortemente da temperatura.
10. Considere escoamento Poiseuille permanente, incompressível, laminar e totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas horizontais ( os perfis de velocidade e pressão são mostrados na Figura P1
19. Estime a velocidade e o número de Reynolds do esperma mostrado na Figura 10-10. Esse microorganismo está nadando sob condições de escoamento lento? Suponha que ele está nadando em água à temperatu
12. No capitulo 9 (Exemplo 9-15), nós geramos uma solução ‘’exata’’ da equação de Navier-stokes para escoamento Couette totalmente desenvolvido entre duas placas planas horizontais (Figura P10-12), co
18. Para cada caso, calcule um número de Reynolds apropriado e indique se o escoamento pode ser aproximado pelas equações de escoamento lento. (a) Um microorganismo com diâmetro de 5,0 μ m nada na águ