Enunciado

Um mancal de deslizamento consiste de um eixo de diâmetro D = 35   m m e comprimento L = 50   m m (momento de inércia I = 0,125   k g . m 2 ) instalado simetricamente em um invólucro estacionário de mood que a folga anular é δ = 1   m m . O fluido na folga tem viscosidade μ = 0,1   N . s / m 2 . Se é dada ao eixo uma velocidade angular inicial ω = 500   r p m , determine o tempo para que a velocidade do eixo abaixe para 100 rpm. Em outro dia, um fluido desconhecido foi testado da mesma forma, levando 10 minutos para a velocidade passar de 500 rpm para 100 rpm. Qual é a sua viscosidade?

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que devemos lembrar é que o torque pode ser escrito como função do momento de inércia vezes a aceleração angular do sistema, então, temos:

T = - I α

O sinal negativo aparece pois estamos considerando o sistema desacelerando. E, sabemos também que o torque pode ser dado pela força resultante vezes o raio da distância onde é aplicada, de modo que:

T = F R → T = F D 2

E, no nosso caso, essa força é a força de cisalhamento, dada pela tensão de cisalhamento vezes a área de contato superficial do mancal, então, temos:

F = τ A → F = τ π D L

Substituindo essa expressão na equação para o torque, temos:

T = τ π D L D 2 → T = τ π D 2 L 2

Agora, conforme vimos no Exemplo 8.2 nesse capítulo, podemos escrever a tensão de cisalhamento como:

τ = μ ω D 2 δ

Então, substituindo essa expressão na equação do torque, temos:

T = μ ω D 2 δ π D 2 L 2 → T = μ ω π D 3 L 4 δ

Passo 2

Agora vamos igualar as duas equações encontradas para o torque no passo 1, dessa forma, temos:

- I α = μ ω π D 3 L 4 δ

E, sabendo que a aceleração angular α é a derivada no tempo da velocidade angular ω , podemos escrever:

- I d ω d t = μ ω π D 3 L 4 δ

Separando as variáveis, temos:

d ω ω = - μ π D 3 L 4 I δ d t

Agora nós vamos integrar essa equação dos dois lados, então, teremos:

∫ ω 0 ω d ω ω = ∫ 0 t - μ π D 3 L 4 I δ d t

Resolvendo as integrais, temos:

ln ⁡ ω ω 0 ω = - μ π D 3 L 4 I δ t

Substituindo o limite de integração da parte esquerda, temos:

ln ⁡ ω - ln ⁡ ω 0 = - μ π D 3 L 4 I δ t

Pela propriedade da diferença dos logarítmos, podemos escrever:

ln ⁡ ω ω 0 = - μ π D 3 L 4 I δ t

E, isolando o tempo dessa equação, chegamos em:

t = - 4 I δ μ π D 3 L ln ⁡ ω ω 0

Então, para descobrir o tempo para que a velocidade do eixo abaixe para 100 rpm, basta substituir os valores conhecidos na equação acima, então, teremos:

t = - 4 0,125 0,001 0,1 π 0,035 3 0,05 ln ⁡ 100 500 → t = 1194,87   s

Passo 3

Agora, para encontrar a viscosidade do fluido desconhecido que demora 10 minutos para reduzir a velocidade de 500 rpm para 100 rpm, vamos pegar a equação obtida no passo 2:

ln ⁡ ω ω 0 = - μ π D 3 L 4 I δ t

E, isolar a viscosidade, então, temos:

μ = - 4 I δ π D 3 L t ln ⁡ ω ω 0

Substituindo os valores conhecidos, temos:

μ = - 4 0,125 0,001 π 0,035 3 0,05 10 60 ln ⁡ 100 500 → μ = 0,199   N . s / m 2

Resposta

t = 1194,87   s

μ = 0,199   N . s / m 2

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