Enunciado

A comporta parabólica mostrada na figura tem 2 metros de largura e é articulada em O ; c = 0,25   m - 1 , D = 2   m e H = 3   m . Determine (a) o módulo e a linha de ação da força vertical sobre a comporta causada pela água, (b) a força horizontal aplicada em A requerida para manter a comporta em equilíbrio, e (c) a força vertical aplicada em A requerida para manter a comporta em equilíbrio.

Passo 1

Letra a)

Encontrando a coordenada  x  no ponto  B da seguinte maneira:

y = c x 2

A água está a uma altura de  D  do fundo da comporta.

Substituindo a  D por  y , na extremidade mais à direita, temos:

D = c x D 2

x D = D c  

Calculando F V :

F V = ∫ p d A = ∫ ρ g h b d x = ∫ 0 x D ρ g ( D - y ) b d x = ρ g b ∫ 0 D c ( D - c x 2 ) d x

Integrando:

F V = 2 ρ g b 3 ⋅ D 3 2 c 1 2

Sendo:

ρ = 1000   k g / m 3 ;

g = 9,8   m / s 2 ;

b = 2   m ;

D = 2   m ;

c = 0,25   m - 1 .

Temos:

F V = 2 ⋅ 1000 ⋅ 9,8 ⋅ 2 3 ⋅ 2 3 2 0,25 1 2 = 73,9   k N

Passo 2

Calculando a linha de ação da força vertical:

x ' F V = ∫ x d F V

x ' = ρ g F V ∫ 0 D c x h b d x = ρ g b F V ∫ 0 D c x ( D - y ) d x = ρ g b F V ∫ 0 D c x ( D - c x 2 ) d x

Integrando:

x ' = ρ g b F V ⋅ D 2 4 c

Substituindo os dados:

x ' = 1000 ⋅ 9,8 ⋅ 2 73,9 x 10 3 ⋅ 2 2 4 ⋅ 0,25 = 1,06   m

Passo 3

Calculando a força horizontal que atua na comporta devido à água:

F H = ρ g h c b D

h c é o centro da comporta.

A comporta parabólica está na forma retangular.

O centro da área retangular fica na altura da  D / 2 da parte inferior da comporta.

Substituindo h c = D / 2 :

F H = ρ g ⋅ D 2 ⋅ b D = ρ g b D 2 2

Substituindo os dados:

F H = 10 0 0 ⋅ 9,8 ⋅ 2 ⋅ 2 2 2 = 39,2   k N

Calculando a linha de ação dessa força horizontal na comporta:

h ' = h c + I x x A ⋅ h c = D 2 + b D 3 12 b D ⋅ D 2 = 2 D 3

h ' = 4 3

Passo 4

Letra b)

Desenhando o diagrama de forças da comporta:

Calculando a força horizontal necessária em  A  para manter a comporta em equilíbrio.

Analisando momento sobre o ponto O .

∑ M O = 0

F A ⋅ H - F y ⋅ x ' - F H D - h ' = 0

F A = 1 H F y ⋅ x ' + F H D - h '

Sendo H = 3   m , substituindo os dados, temos:

F A = 1 3 73,9 ⋅ 1,06 + 39,2 ⋅ 2 - 4 3 = 34,8   k N

Desse modo, a força horizontal aplicada em A deve ser de 34,8   k N .

Passo 5

Letra c)

Calculando a distância de força vertical ao ponto O .

A distância se dá na coordenada  x  em  y = H .

Substituindo H por  y L para  x na equação da parábola:

y = c x 2

H = c L 2

L = H c  

Substituindo os dados:

L = 3 0,25 = 3,46   m

Calculando a força vertical necessária em A para manter o equilíbrio.

Tomando o momento sobre o ponto  O :

∑ M O = 0

F A ⋅ L - F y ⋅ x ' - F H D - h ' = 0

F A = 1 L F y ⋅ x ' + F H D - h '

Substituindo os dados:

F A = 1 3,46 73,9 ⋅ 1,06 + 39,2 ⋅ 2 - 4 3 = 30,2   k N

Assim, a força vertical aplicada em A deve ser  30,2   k N .

Resposta

F V = 73,9   k N

x ' = 1,06   m

F A ( H ) = 34,8   k N

F A ( V ) = 30,2   k N

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