Enunciado

Um modelo de hélice de 1 m de diâmetro é testado em um túnel de vento. O ar aproxima-se da hélice a 50 m/s quando ela gira a 1800 rpm. O empuxo e o torque medidos sob estas condições são 100 N e 10 Nm, respectivamente. Um protótipo 8 vezes maior que omodelo deve ser construído. Em um ponto de operação dinamicamente semelhante, a velocidade de aproximação do ar deve ser de 130 m/s. Calcule a velocidade, o empuxo e o torque da hélice do protótipo sob estas condições, desprezando o efeito da viscosidade, masincluindo a massa específica.

Passo 1

Neste problema será necessário obter os parâmetros adimensionais característicos do problema e a partir deles, por meio de semelhança dinâmica, relacionar a velocidade, vazão empuxo e torque da hélice do protótipo.

Para resolver o problema será necessário o uso do Teorema de Buckingham.

Como parâmetros conhecidos têm:

- diâmetro do modelo: D m = 1   m ;

- velocidade do ar no modelo: V m = 50   m / s ;

- rotação do modelo: ω m = 1800   r p m ;

- empuxo do modelo: F m = 100   N ;

- torque do modelo: T m = 10   N m ;

- velocidade do ar no protótipo: V p = 13 0   m / s ;

- escala: D m D p = 1 8 .

Passo 2

Definindo os parâmetros dimensionais conforme apresentados no enunciado: empuxo ( F ), rotação ( ω ), velocidade do ar ( V ), diâmetro da hélice ( D ), torque ( T ) e massa específica ( ρ ).

Logo o número de parâmetros dimensionais é:

n = 6

Passo 3

Escolhendo as dimensões primárias:

- F = M ∙ L t 2

- ω = 1 t

- V = L t

- D = L

- T = M ∙ L 2 t 2

- ρ = M L 3

Logo, as dimensões primárias são M , L e t , ou seja:

r = m = 3

Passo 4

Os parâmetros repentes serão r = m = 3 .

Neste problema como parâmetros repetentes serão escolhidos ρ , ω e D , os quais representam as características dinâmica, cinética e geométrica, respectivamente.

Passo 5

Número de parâmetros adimensionais ( n - m ):

n - m = 6 - 3 = 3   a d i m e n s i o n a i s  

Passo 6

Os adimensionais a serem obtidos podem ser escritos como:

- π 1

π 1 = F ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L t 2 ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :     1 - 3 a + c = 0

t :   - 2 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 2

c = - 4

Logo:

π 1 = F ∙ ρ - 1 ∙ ω - 2 ∙ D - 4

De forma que π 1 vale:

π 1 = F ρ ∙ ω 2 ∙ D 4

- π 2

π 2 = V ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = L t ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     a = 0

L :     1 - 3 a + c = 0

t :   - 1 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 0

b = - 1

c = - 1

Logo:

π 2 = V ∙ ρ 0 ∙ ω - 1 ∙ D - 1

De forma que π 2 vale:

π 2 = V ω ∙ D

- π 3

π 3 = T ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L 2 t 2 ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :     2 - 3 a + c = 0

t :   - 2 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 2

c = - 5

Logo:

π 3 = T ∙ ρ - 1 ∙ ω - 2 ∙ D - 5

De forma que π 3 vale:

π 3 = T ρ ∙ ω 2 ∙ D 5

Passo 7

Tendo os valores da velocidade e diâmetro do modelo e protótipo é possível realizar a semelhança dinâmica do π 2   para obter a rotação do protótipo:

π 2 m = π 2 p

V m ω m ∙ D m = V p ω p ∙ D p

ω p = ω m V p V m D m D p

Utilizando valores numéricos conhecidos:

ω p = 1800 × 130 50 × 1 8

Logo, a rotação do protótipo vale:

ω p = 585   r p m

Passo 8

Tendo os valores de rotação e diâmetro do modelo e protótipo é possível realizar a semelhança dinâmica do π 1   para obter o empuxo do protótipo:

π 1 m = π 1 p

F m ρ m ∙ ω m 2 ∙ D m 4 = F p ρ p ∙ ω p 2 ∙ D p 4

De forma que o expruxo noprotótipo pode ser escrito como:

F p = F m ρ p ρ m ω p ω m 2 D p D m 4

Sabendo que o fluido utilizado no protótipo e modelo é o mesmo ( ρ p = ρ m ) e utilizando valores numéricos conhecidos:

F p = 100 × 585 1 8 00 2 8 1 4

Logo, o empuxo do protótipo vale:

F p = 43,3   k N

Passo 9

Tendo as informações de diâmetro e velocidade de rotação do modelo e protótipo é possível calcular o torque do protótipo segundo a semelhança dinâmica do adimensional π 3 :

π 3 m = π 3 p

T m ρ m ∙ ω m 2 ∙ D m 5 = T p ρ p ∙ ω p 2 ∙ D p 5

De forma que o expruxo noprotótipo pode ser escrito como:

T p = T m ρ p ρ m ω p ω m 2 D p D m 5

Sabendo que o fluido utilizado no protótipo e modelo é o mesmo ( ρ p = ρ m ) e utilizando valores numéricos conhecidos:

T p = 10 × 585 1800 2 8 1 5

Logo, o torque do protótipo vale:

T p = 34,6   k N m

Resposta

ω p = 585   r p m

F p = 43,3   k N

T p = 34,6   k N m

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