Enunciado

Modifique a análise da Figura 4.13 para encontrar a velocidade u θ quando o cilindro interno é fixo e o cilindro externo gira a uma velocidade angular Ω 0 . Pode essa solução ser somada à Equação (4.140) para representar o escoamento que ocorre quando ambos os cilindros, interno e externo, giram? Explique a sua conclusão.

Passo 1

Bora pra mais uma!

Da solução equação 4.139: u θ = C 1 r + C 2 r , vamos aplicar novas condições de contorno:

r = r i ; u θ = 0 = C 1 r i + C 2 r i

r = r o ; u θ = Ω o r o = C 1 r o + C 2 r o

Resolvendo este sistema, obtemos:

C 1 = - Ω o r o 2 r i 2 - r o 2 ;   C 2 = r i Ω o r o 2 r i 2 - r o 2

Daí obtemos:

u θ = Ω o r o r r i - r i r r o r i - r i r o

Resposta

A velocidade u θ quando o cilindro interno é fixo e o cilindro externo gira a uma velocidade angular Ω 0   é:

u θ = Ω o r o r r i - r i r r o r i - r i r o

Esta solução pode de fato ser adicionada à solução da equação 4.140, porque a aceleração convectiva é zero, logo, a equação de Navier-Stokes é linear.

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