Enunciado

Mostre que a melhor seção trapezoidal hidráulica é a metade de um hexágono.

Passo 1

Tá legal, para fazer essa demonstração vamos precisar nos lembrar um pouco de geometria. Sabemos que a fórmula para o ângulo interno de um polígono é:

a i = n - 2 180 ° n

Então, para um hexágono, com n = 6 , temos:

a 6 = 6 - 2 180 ° 6 → a 6 = 120 °

Então, olhando para a ilustração do canal trapezoidal do enunciado, temos que nosso α terá que ser igual a:

α = 180 ° - 120 ° → α = 60 °

Então vamos lá! Com o auxílio da tabela de geometria fornecida nessa seção, temos:

A = y ( b + y c o t g   α )

R h = y b + y c o t g   α b + 2 y s e n   α

P = b + 2 y s e n   α

Passo 2

Tá legal! Aqui vamos isolar b da equação da área e substituir na do perímetro molhado, então, temos:

A = y b + y c o t g   α → b = A y - y c o t g   α

Então, substituindo na do perímetro molhado:

P = A y - y c o t g   α + 2 y s e n   α

Agora, para obtermos a seção transversal da eficiência hidráulica ótima, vamos derivar a expressão anterior em relação à y e depois igualar o resultado a zero para maximizar a eficiência em função de y . Então, temos:

∂ P ∂ y = 1 y . ∂ A ∂ y - A y 2 - c o t g   α + 2 s e n   α

Para as condições ótimas então, devemos ter:

∂ P ∂ y = 0 ; ∂ A ∂ y = 0

Então, substituindo esses valores na equação anterior, temos:

0 = - A y 2 - c o t g   α + 2 s e n   α → A = - y 2 c o t g   α + 2 y 2 s e n   α

Passo 3

Agora precisamoa maximizar a área em função de α , então vamos derivar a função encontrada no passo 2 para a área em função de α e depois igualar ela a zero, então, temos:

∂ A ∂ α = - y 2 - 1 - c o t g 2 α + 0 sen ⁡ α - 2 y 2 cos ⁡ α s e n 2 α

0 = - y 2 - 1 - c o t g 2 α - 2 y 2 cos ⁡ α s e n 2   α

Nesse caso, podemos dividir toda a equação por y 2 , então, temos:

2 cos ⁡ α s e n 2   α = 1 + cot g 2 ⁡ α → 2 cos ⁡ α s e n 2   α = 1 + cos 2 ⁡ α sen 2 ⁡ α

Multiplicando os dois lados da equação por s e n 2 α , temos:

2 cos ⁡ α = s e n 2 α + cos 2 ⁡ α

No entanto, sabemos da relação fundamental da trigonometria que s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1 , então, teremos:

2 cos ⁡ α = 1 → α = cos - 1 ⁡ 1 2 → α = 60 °

Opa! Conseguimos chegar na demonstração que precisávamos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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